這個計算機的功能
Gamma 分布計算機會根據您指定的形狀參數 k 與尺度參數 θ，計算 Gamma 分布在某一點 X 的機率密度函數 (PDF) 與累積分布函數 (CDF)。除了 PDF 與 CDF 之外，它還會一併呈現該分布的平均數、變異數、眾數、偏態與峰態，讓您只需輸入三個簡單數值，就能掌握完整的統計輪廓。Gamma 分布廣泛應用於建模等待時間、降雨量、保險理賠金額，以及其他連續且為正值的數量。
三個輸入值
- 形狀參數 (k)：決定曲線的形態。k 較小時曲線會急遽下降；k 較大時則愈接近鐘形。
- 尺度參數 (θ)：沿著 x 軸拉伸分布。θ 愈大，機率就分散到愈高的數值範圍。
- X 值：計算密度與累積機率所評估的那一個點。
計算公式
本計算機使用的 PDF 為：
f(x) = ((x^{ k-1} e^{-x/θ}) ÷ (θ^{k} \Gamma(k)))
其中 \Gamma(k) 為 Gamma 函數。CDF 則是此密度函數從 0 到 X 的積分，透過正規化的下不完全 Gamma 函數計算得出。計算機也會直接由參數推導出以下摘要統計量：
- 平均數 = k·θ
- 變異數 = k·θ^{2}
- 眾數 = 當 k > 1 時為 (k-1)·θ，否則為 0
- 偏態 = 2/√(k)
- 峰態（超額峰態）= 6/k
範例試算
假設 k = 2、θ = 3、X = 4。PDF 為
f(4) = ((4^{1}· e^{-4/3}) ÷ (3^{2}·\Gamma(2))) = ((4· 0.2636) ÷ (9)) ≈ 0.117
X = 4 處的 CDF 約為 0.385，代表該變數落在 4（含）以下的機率約為 38.5%。平均數為 2× 3 = 6，變異數為 2× 3^{2} = 18，眾數為 (2-1)× 3 = 3，偏態為 2/√(2)≈ 1.414，超額峰態為 6/2 = 3。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
這是尺度參數還是率參數的版本？
本計算機採用尺度參數 (θ) 的形式。如果您手上的是率參數 β，請先用 \(\theta = 1/\beta\) 換算後再輸入。
哪些數值才有效？
k 與 θ 都必須為正值，而 X 應大於或等於 0，因為 Gamma 分布僅在非負數值範圍內有定義。
Gamma 分布與指數分布、卡方分布有何關係？
當 k = 1 時，Gamma 分布會退化為平均數為 θ 的指數分布。自由度為 v 的卡方分布，則相當於 k = v/2、θ = 2 的 Gamma 分布。