這個計算器的功能
「Gamma 分佈圖形計算器」會在一連串 x 值組成的網格上計算 Gamma 分佈，並在每個點傳回三個相關數值：機率密度 f(x)、下累積機率 P(x)，以及上累積（生存）機率 Q(x)。Gamma 分佈是一種定義於 x > 0 的連續分佈，廣泛應用於可靠度工程、排隊模型、降雨量建模與貝氏統計。本計算器採用尺度參數化方式（形狀 a、尺度 b），而非速率參數化方式。
需要輸入的項目
- 函數選擇——選擇要計算的曲線：密度 f、下累積 P 或上累積 Q。
- 形狀參數 a——必須為正值；控制曲線的偏態與峰值。
- 尺度參數 b——必須為正值；會沿 x 軸方向拉伸分佈（平均值 = a· b）。
- x 的起始值——網格的起點。
- x 的增量（步長）——相鄰兩個 x 值之間的間距。
- 重複次數（點數）——要產生多少個網格點（上限為 10,000）。
若 a 或 b 為非正值，會被夾限為一個極小值；步長 ≤ 0 時預設為 0.1；點數則會被強制限制在 1～10,000 的範圍內。
計算公式
機率密度函數為：
f(x, a, b) = ((x^{ a-1} e^{-x/b}) ÷ (\Gamma(a)· b^{ a}))
下累積 P(x) 即正規化不完全 Gamma 函數 P(a, x/b)：當 x/b < a+1 時以級數展開計算，否則改用連分數計算。上累積（生存）函數為 Q(x) = 1 - P(x)。Gamma 函數 \Gamma(a) 則以對數形式的 Lanczos 近似法求得，以確保數值穩定。
實例演算
假設 a = 2、b = 1、起始 x = 0、步長 = 1，共 4 個點（x = 0, 1, 2, 3）。在 x = 2 時的密度為
f = ((2^{1}· e^{-2}) ÷ (\Gamma(2)· 1)) = ((2· 0.1353) ÷ (1)) = 0.2707
x = 2 處的下累積為 P(2, 2) ≈ 0.5940，因此生存機率 Q(2) ≈ 0.4060。每個網格點都會傳回這些數值，可直接繪製成平滑曲線。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
這是使用尺度還是速率？
本計算器使用尺度參數 \(b\)。若您手上的資料是速率 \(\lambda\)，請設定 \(b = 1/\lambda\)。
P 與 Q 有什麼差別？
\(P(x)\) 是變數小於或等於 \(x\) 的機率（由左側累積）；\(Q(x) = 1 - P(x)\) 則是超過 \(x\) 的機率，通常稱為生存函數。
為什麼 \(a\) 與 \(b\) 必須為正值？
Gamma 分佈僅在形狀與尺度為正值時才有定義。非正值的輸入會被替換成接近零的數值以避免錯誤，但為了得到有意義的結果，請務必輸入有效的正數。