什麼是 Gamma 函數？
Gamma 函數寫作 \Gamma(z)，可視為階乘（factorial）的連續推廣版本。對任何正整數 n 來說，它滿足 \Gamma(n) = (n - 1)!，因此 \Gamma(5) = 4! = 24。與一般階乘不同的是，Gamma 函數對所有實數與複數都有定義，唯獨在非正整數（0、−1、−2、⋯）處例外——這些點是它的奇點（極點）。Gamma 函數廣泛出現在數學、統計學（如 gamma 分配、beta 分配與卡方分配）、物理學與組合數學之中。
如何使用本計算機
只要輸入任一個 z 值——可以是整數、分數，或非整數的負數——計算機就會回傳 \Gamma(z)。舉例來說，\Gamma(0.5) = √(π) ≈ 1.772454，而 \Gamma(2.5) ≈ 1.329340。請避免輸入 0 或負整數，因為函數在這些點沒有定義。
公式說明
本工具採用 Lanczos 近似法，這是一種快速且精度極高的級數展開，使用常數 g = 7 及九個事先計算好的係數。其核心恆等式為
\Gamma(z) = √(2π)· ≤ft(z + g + \tfrac{1}{2}\right)^{z + ((1) ÷ (2))}· e^{-≤ft(z + g + ((1) ÷ (2))\right)}· A_g(z)
其中 A_g(z) 為加權係數之和。當 z < 0.5 時，計算機會先套用反射公式 \Gamma(z) \Gamma(1 - z) = ((π) ÷ (\sin(π z)))
藉此精確計算較小或為負的引數。
實例演算
以計算 \Gamma(5) 為例：由於 5 是正整數，因此
\Gamma(5) = (5 - 1)! = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
Lanczos 近似法回傳的結果為 24.0000（在捨入誤差範圍內），正好印證了它與階乘之間的關係。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼無法計算 \(\Gamma(0)\) 或 \(\Gamma(-2)\)？
Gamma 函數在每一個非正整數處都有極點，數值會無限增長，因此在這些點沒有定義。
計算結果有多精準？
採用 \(g = 7\) 的 Lanczos 近似法，對一般輸入而言可達約 15 位有效數字的精度——遠遠超過畫面所顯示的位數。
\(\Gamma(z)\) 和階乘是同一回事嗎？
兩者密切相關：對正整數 n 而言，\(\Gamma(n) = (n - 1)!\)。Gamma 函數則把階乘的概念推廣到非整數與負數的引數上。