這個計算器的用途
本工具運用第二類高斯-切比雪夫求積法（Gauss-Chebyshev quadrature），對函數 g(x) 在有限區間 (a, b) 上的定積分進行數值近似。高斯求積法只在少數幾個經過精心挑選的點（稱為「節點」）上計算被積函數的值，再搭配對應的權重加總起來，因此對於平滑函數而言，只需極少的計算次數就能達到很高的精確度。這純粹是數學運算，沒有單位，也不涉及任何特定國家的規則。
如何使用
請以 x 為變數輸入被積函數，例如 sqrt(1-x^2)、exp(x)、1/(1+x^2) 或 sin(x)。支援的函數包括 sin、cos、tan、asin、acos、atan、exp、ln/log、sqrt、abs，以及用 ^ 表示的次方運算，另外還有常數 pi 與 e。接著設定積分下限 a、上限 b 和節點數 n。對於平滑的被積函數來說，n 越大通常精確度越高；若函數沒有額外加權，n 取 30 到 60 之間的效果就相當理想。
公式解析
第二類求積法建立在區間 [-1, 1] 上、權重為 √(1 - x^2) 的標準恆等式之上。其節點有封閉解 x_i = \cos\!≤ft(((i π) ÷ (n+1))\right)，權重則為 w_i = ((π) ÷ (n+1))·\sin^2\!≤ft(((i π) ÷ (n+1))\right)。若要對一般區間上未加權的 g 進行積分，我們會將 [-1, 1] 對映到 [a, b]（雅可比行列式為 ((b-a) ÷ (2))），並除以 √(1 - x_i^2)。這個除法在解析上會被消去，留下實際有效的權重 W_i = ((π) ÷ (n+1))·\sin\!≤ft(((i π) ÷ (n+1))\right)。因此最終實用的公式為：
實例演算
以 g(x) = √(1 - x^2) 在區間 (-1, 1) 上、取 n = 4 為例。其精確值正是單位半圓的面積，即 ((π) ÷ (2)) ≈ 1.5707963。這四項的貢獻加總約為 1.5708358——僅用四個節點，就能與真實值吻合到小數點後四位。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。