📚 Gauss Hermite Quadrature 計算機

高斯-埃爾米特求積法（Gauss-Hermite quadrature）是一種數值積分技巧，專門用來處理整條實數線（從負無窮大到正無窮大）上的積分。它以高斯權函數 e^{-x^{2}} 為核心，對於次數不超過 2n-1 的任意多項式（在去除權函數的意義下）都能得到精確結果。由於這完全是純數學運算，不論在哪個國家或使用哪種單位制，計算規則都完全一致。此方法廣泛應用於物理學、統計學（計算常態分布下的期望值）以及工程領域。

首先選擇被積函數的形式。若您要直接輸入整個欲在 (-\infty, \infty) 上積分的完整函數，請選擇 g(x)；若您已事先把 e^{-x^{2}} 權函數分離出來，則選擇 f(x)。接著以變數 x 寫出運算式（可使用 exp、log、sqrt、sin、cos、tan、sinh、cosh、abs、pi、e、^ 以及常見的運算符號）。最後設定節點數 n。對於平滑、近似高斯型的被積函數而言，節點越多精度越高；一般常用 8 到 30 之間的數值。

本方法會在物理學家版埃爾米特多項式 H_n(x) 的 n 個根 x_i 上計算被積函數值，再搭配權重

進行加權求和。在 f 模式下，估計值即為 的總和。在 g 模式下，則透過修正權重 W_i = w_i e^{x_i^{2}} 把權函數除回去，得到 的總和。此處的節點與權重是以數值上相當穩定的 Golub-Welsch 演算法產生，該演算法將它們視為對稱三對角 Jacobi 矩陣的特徵值與特徵向量來求解。

以 f 模式為例，取 f(x) = 1、n = 2。此時的兩個節點為 x = ±((1) ÷ (√(2)))，權重相等且皆為 w = ((√(π)) ÷ (2)) = 0.8862269255。兩者相加得

恰好等於 √(π)，也就是 e^{-x^{2}} 在整條實數線上積分的真實值。同理，若改用 g 模式，取 g(x) = e^{-x^{2}}、n = 2，修正權重也會還原出相同的結果 1.7724538509。