什麼是高斯-克朗羅德數值積分計算器？
這個工具運用高斯型求積法（Gaussian quadrature），計算函數 f(x) 在有限區間 [a, b] 上的定積分。它會在精心挑選的節點上計算被積函數的值，乘以事先算好的權重後加總起來。接著，計算器會將高階估計值 K 與低階的高斯-勒讓德（Gauss-Legendre）估計值 G 互相比較，得出誤差界 |K - G|，讓你對結果的準確度更有把握。
如何使用
輸入一個以 x 為變數的數學式（例如 4/(1+x^2) 或 sin(x)），設定積分下限 a 與上限 b，再選擇求積規則使用的節點數 n（奇數，範圍 3 到 99）。對於平滑的被積函數，節點越多，精度越高。支援的語法包括 + - * / ^、括號，以及 sin、cos、tan、asin、acos、atan、exp、ln、log、sqrt、abs、sinh、cosh、tanh，另外還有常數 pi 與 e。
計算公式
求積規則是定義在 [-1, 1] 上，以被積函數值的加權總和來表示。若要對 [a, b] 積分，需做一次仿射變數變換：x(t) = (b-a)/2 · t + (a+b)/2，其中 dx = (b-a)/2 · dt。因此，積分值等於 (b-a)/2 乘以各權重 w_i 與映射後節點處 f 值乘積的總和。
實例演算
以 f(x) = \sin(x) 在 [0, π] 為例，精確積分為
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。