什麼是高斯-拉蓋爾求積法？
高斯-拉蓋爾求積法（Gauss-Laguerre quadrature）是一種數值積分方法，專門用來近似定義在半無限區間 (0, \infty) 上、且被積函數隨指數衰減的瑕積分。它的核心概念是：把積分換成在一組精心挑選的取樣點（稱為「節點」）上的加權總和。對於指定的階數 n，此規則對任何次數不超過 2n-1 的多項式（在權重函數 x^{\alpha} e^{-x} 之下）都能算出完全精確的結果。正因如此，只要被積函數夠平滑，僅需少數幾個取值點便能達到相當高的精確度。
如何使用本計算器
首先選擇輸入模式。如果你的積分已經寫成 x^{\alpha} e^{-x} f(x) dx 的形式，而你只想輸入其中的因子 f，請選擇 f(x)。如果你手上是一個定義在 (0, \infty) 上的完整被積函數 g(x)，請選擇 g(x)，此時計算器會自動把內建的權重函數除掉。接著以變數 x 並使用標準寫法輸入函數（+、-、*、/、^、sqrt、exp、ln、sin、cos、tan 等），設定節點數 n，再設定權重參數 \alpha（標準的高斯-拉蓋爾求積法請填 0）。對於平滑函數而言，增加 n 可提升精確度。
公式解析
節點 x_i 是廣義拉蓋爾多項式 L_n^{(\alpha)}(x) 的根，而權重 w_i 則透過 Golub-Welsch 演算法求得：先建立一個對稱三對角的 Jacobi 矩陣，其特徵值即為節點；至於 w_i，則等於 \Gamma(\alpha+1) 乘上每個標準化特徵向量第一個分量的平方。最後，積分值便以上方所示的加權總和來近似。
範例演算
設定 \alpha = 0、n = 2、模式 f(x)、f(x) = x^2（也就是估計 \int x^2 e^{-x} dx，其精確值為 \Gamma(3) = 2）。兩個節點分別為 x_1 = 2 - √(2) = 0.585786，權重 w_1 = 0.853553；x_2 = 2 + √(2) = 3.414214，權重 w_2 = 0.146447。加權總和為
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
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