這個計算器能做什麼
本工具可計算 n 點廣義高斯-拉蓋爾求積（Gauss-Laguerre quadrature）的節點（橫座標）x_i 與權重 w_i。它屬於純數學的數值積分工具，在世界各地的運算結果都完全一致。此求積法則用來近似在半無窮區間 [0, ∞) 上、帶有權函數 x^{\alpha} e^{-x} 的積分：
這些節點正是廣義拉蓋爾多項式 L_n^{(\alpha)}(x) 的正根；只要 f 是次數不超過 2n-1 的多項式，此法則就能給出精確值。
使用方式
先選定階數 n（取點個數，範圍 2 到 100），輸入指數參數 \alpha（任何大於 −1 的實數；經典高斯-拉蓋爾法則取 \alpha = 0），再選擇要顯示的有效位數。計算結果會依 x_i 由小到大列出每一個節點及其對應權重，並附上內建的自我驗算。
公式與計算方法
每個權重都有封閉形式：
在實作上，我們採用數值上更穩定且等價的 Golub-Welsch 方法：建構對稱三對角的 Jacobi 矩陣，其對角元素 a_k = 2k+\alpha+1，非對角元素 b_k = √(k(k+\alpha))。該矩陣的特徵值即為節點，而每個權重等於 \mu_0 · (特徵向量第一個分量)^2，其中 \mu_0 = \Gamma(\alpha+1) 為零階矩。此法可避免大階乘造成的數值溢位。
範例演算
以 n = 2、\alpha = 0 為例：L_2^{(0)}(x) = (x^2-4x+2)/2，因此其根為 x = 2 ± √(2)，可得 x_1 = 0.5857864、x_2 = 3.4142136。對應權重為 w_1 = (2+√(2))/4 = 0.8535534、w_2 = (2-√(2))/4 = 0.1464466。兩者相加恰為 1 = \Gamma(1)，驗證結果無誤。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。