什麼是高斯-勒讓德求積法？
高斯-勒讓德求積法（Gauss-Legendre quadrature）是一種估算定積分的數值方法。它不像傳統做法那樣把區間切成許多等寬的小條，而是只在少數幾個經過精心挑選的位置（稱為節點）計算被積函數的值，再搭配經過調校的權重加總起來。回報相當驚人：n 點的高斯-勒讓德公式可以精確積分任何不超過 2n − 1 次的多項式；對於平滑函數而言，它所需的計算次數遠少於梯形法或辛普森法，卻能得到極佳的精度。
如何使用本計算機
請以 x 的運算式輸入被積函數（例如 4/(1+x^2)、sin(x)*exp(-x) 或 sqrt(1-x^2)）。設定積分下限 a 與上限 b，接著從 2 到 64 之間選擇節點數 n。對於平滑的被積函數，n 越大，精度越高。支援的運算子有 + - * / ^；支援的函數包括 sin、cos、tan、asin、acos、atan、sinh、cosh、tanh、exp、log/ln、log10、sqrt 與 abs，另外還有常數 pi 與 e。
公式說明
經典公式定義在區間 [-1, 1] 上：積分以 f 在勒讓德多項式根 x_i 處的加權總和來近似。
若要處理一般區間 [a, b]，可利用線性變數變換，把 t \in [-1, 1] 映射為 x = ((b-a) ÷ (2))t + ((b+a) ÷ (2))，其中 dx = ((b-a) ÷ (2)) dt。本計算機會即時以牛頓法搭配勒讓德多項式遞迴關係求出節點，因此完全不需要查表。
實例演算
以 f(x) = ((4) ÷ (1 + x^2)) 在 [0, 1] 上為例，其精確積分值即為 pi。當 n = 2 時，節點為 ±((1) ÷ (√(3)))，權重皆為 1。將其映射到 [0, 1] 並代入計算，可得 f(0.2113) = 3.8290 與 f(0.7887) = 2.4661；總和乘上縮放係數 0.5 後約為 3.1476——僅僅兩次計算就已相當接近 pi。當 n = 20 時，結果可與 pi 吻合到約 3.14159265359。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
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