這個計算器能做什麼
本工具可計算古典高斯求積（Gaussian quadrature）法則的節點（橫座標 x_i）與權重 w_i。有了這些數值，你就能把帶權積分近似成有限的加權求和；對於標準高斯法則而言，最高可對 2n-1 次多項式做到精確積分。本工具支援的法則包括：Gauss-Legendre、第一類與第二類 Chebyshev、廣義 Laguerre、Hermite、Jacobi 以及 Gauss-Lobatto。
使用方式
先在「種類」中選擇所需的法則，接著設定階數 n（節點個數，範圍 2 到 100）；若使用 Laguerre 或 Jacobi，還需輸入指數參數 Alpha 與 Beta（兩者皆須大於 -1）。計算結果會列出每個節點與其對應權重，並顯示權重總和。理論上，權重總和應等於權函數的 0 階矩（Legendre 為 2，Hermite 則為根號 π）。
公式說明
對於具有三項遞迴關係的一族正交多項式，節點即為 n 次多項式的根，而權重則來自對稱三對角 Jacobi 矩陣 J 的特徵向量（即 Golub-Welsch 方法）：w_i = \mu_0 (v_{1,i})^2。其中 Chebyshev 法則採用精確的三角函數封閉形式；Legendre 與 Lobatto 對 Legendre 多項式使用牛頓迭代求根；而 Laguerre、Hermite 與 Jacobi 則使用 Jacobi 矩陣特徵值求解。
實例演算
以 n = 2 的 Gauss-Legendre 為例：節點為正負 ((1) ÷ (√(3))) = 0.5773502692，兩個權重皆為 1，因此權重總和為 2。驗證一下：x^2 在 [-1, 1] 上的積分為 ((2) ÷ (3))，而此法則計算得
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。