什麼是高斯求積分計算器？
這是一套純數學工具（在任何國家的運算結果都完全相同），可依您所選的高斯求積分規則，以數值方法近似計算定積分。高斯求積分會在一組經過精心挑選、稱為「節點」的位置上計算被積函數值，再將每個函數值乘上對應的「權重」後加總。使用 n 個節點時，它能對次數最高達 2n-1 的多項式進行精確積分，因此對於平滑函數而言，遠比梯形法、辛普森法等等距取點的方法準確得多。
如何使用
先選擇一種求積分方法，設定節點數 n，再以標準語法輸入被積函數 f(x)（支援 + - * / ^、括號、sin、cos、tan、exp、log、ln、sqrt、abs、pi、e）；若使用有限區間的規則，請另外輸入上下限 a 與 b。權重函數 w(x) 已內建於各規則中，因此您只需輸入平滑的部分 f(x)：使用 Gauss-Laguerre 時請省略 x^{\alpha} e^{-x} 因子，使用 Gauss-Hermite 時省略 e^{-x^2}，使用 Chebyshev／Jacobi 時則省略 (1-x^2) 權重。「有效位數」下拉選單僅會影響結果顯示的位數。
計算公式
每一種規則的形式都相同：在標準區間上對 w(x) f(x) 的積分，會以 w_i 乘以 f(x_i) 的總和來近似，其中節點 x_i 是對應正交多項式的根，而 w_i 則是 Golub-Welsch 權重。對於權重為 1 的任意有限區間 [a,b]，[-1,1] 上的標準節點 t_i 會透過下式映射，整個總和再乘上 ((b-a) ÷ (2)) 進行縮放。
實際範例
選擇 Gauss-Legendre、n=20、f(x)=((4) ÷ (1+x^2))、a=0、b=1。精確值為 4\arctan(1) = π = 3.14159265358979。20 點的 Legendre 規則會將節點映射到 [0,1]，把權重縮放 ((1) ÷ (2)) 倍，最後得到 3.141592653589793——與 π 在雙精度下完全吻合。這正是本計算器將 ((4) ÷ (1+x^2)) 設為預設被積函數的原因。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。