這個計算器的用途
本工具會回傳幾何分配的百分位數（分位數）：給定一個累積機率與每次試驗的成功機率 p，求出對應的數值 x。此處的幾何分配計算的是第一次成功之前的失敗次數，定義域為 x = 0, 1, 2, 3, \ldots。其機率質量函數為
f(x, p) = p(1 - p)^{x}.
兩種累積機率的定義方式
你可以從任一尾端著手計算。下尾累積機率
P(x, p) = 1 - (1 - p)^{x+1}
代表「最多 x 次失敗」的機率；上尾累積機率 Q(x, p) = (1 - p)^{x}
則代表「至少 x 次失敗」的機率。請先選擇對應的模式，再輸入該機率值。
公式說明
令 q = 1 - p。反解下尾 CDF：由 1 - q^{x+1} = P 可得
x = ((\ln(1 - P)) ÷ (\ln(q))) - 1.
反解上尾 CDF：由 q^{x} = Q 可得 x = ((\ln(Q)) ÷ (\ln(q))).
由於 x 必須是整數的失敗次數，因此回報的百分位點為 \lceil x \rceil（向上取整），並限制其最小值為 0。為了精密計算，工具同時也會顯示連續（實數值）解。
範例演算
下尾模式，P = 0.8，p = 0.4。此時 q = 0.6，\ln(0.6) = -0.5108256。
x = ((\ln(0.2)) ÷ (\ln(0.6))) - 1 = ((-1.6094379) ÷ (-0.5108256)) - 1 = 3.151035 - 1 = 2.151035.
向上取整後得到整數百分位數 x = 3。驗算：P(3) = 1 - 0.6^{4} = 0.8704 ≥ 0.8，而 P(2) = 0.784 < 0.8，確認 x = 3 正確。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼要向上取整才是百分位數？
整數分位數是指累積機率達到目標值的最小 \(x\)，因此我們將連續解向上取整。
若 \(p = 0\) 或 \(p = 1\) 會如何？
當 \(p = 0\) 時永遠不會成功，分位數為未定義／無限大。當 \(p = 1\) 時所有機率都集中在 \(x = 0\)，因此分位數為 0。
\(P\) 可以剛好等於 1 嗎？
在下尾模式中，沒有任何有限的 \(x\) 能使 \(P = 1\)（CDF 只會趨近於 1 而無法達到），因此此輸入會回報為未定義。