什麼是柏拉圖分布百分位數計算器？
這個工具用來計算柏拉圖第一型（Pareto Type I）分布的百分位數，也就是所謂的分位數。只要給定一個目標累積機率，以及分布的兩個參數——尺度參數 a（最小值 x_m）和形狀參數 b（即 alpha，尾端指數）——它就會回傳分布達到該機率時所對應的數值 x。柏拉圖分布常用來描述財富、所得、城市規模、檔案大小等具有「重尾」特性、符合「80/20 法則」的現象。
使用方式
首先選擇累積模式。如果你手上的機率是下尾的 CDF 值 P = \Pr(X ≤ x)，請選「下尾累積機率 P」；如果是上尾的生存機率 Q = \Pr(X > x)，則選「上尾累積機率 Q」。接著輸入介於 0 到 1 之間的累積機率，再填入尺度參數 a（必須大於 0）與形狀參數 b（必須大於 0）。計算器會先將你的輸入轉換為下尾機率，再對 CDF 進行反運算求解。
公式說明
當 x ≥ a 時，柏拉圖第一型分布的 CDF 為
P(x) = 1 - ≤ft(((a) ÷ (x))\right)^{b}.
對 x 求解可得 x = a · ≤ft(1 - P\right)^{-1/b}.
若你輸入的是上尾機率 Q，由於 1 - P = Q，公式便簡化為 x = a · Q^{-1/b}.
因為 a > 0、0 ≤ 1 - P ≤ 1 且 b > 0，計算結果必定滿足 x ≥ a，落在分布的有效範圍內。
實例演算
以上尾情形為例，設 Q = 0.1、a = 2、b = 3，則
x = 2 · (0.1)^{-1/3} = 2 · 10^{1/3} = 2 · 2.15443 = 4.30887.
驗證一下：Q(x) = ≤ft(((2) ÷ (4.30887))\right)^{3} ≈ 0.1，結果無誤。再看標準柏拉圖分布，當 a = 1、b = 1 且 P = 0.5 時，中位數為 x = ((1) ÷ (1 - 0.5)) = 2.
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
當 P = 1（或 Q = 0）時會發生什麼事？
此時分位數會趨於無限大，因為柏拉圖分布的右尾無限延伸。計算器會特別標示這種情況，而不會出現除以零的錯誤。
當 P = 0 時結果代表什麼？
分位數等於 \(a\)，也就是分布的最小值與左端點。
尺度參數和形狀參數有何不同？
尺度參數 \(a\) 決定可能的最小值，而形狀參數 \(b\) 則控制尾端的厚薄——\(b\) 越小代表尾端越重、出現極端大值的機會越高。