💰 Black-Scholes 選擇權定價計算器

Black-Scholes 模型是現代選擇權定價的基石。它在假設標的不發放股利的前提下，估算歐式買權與賣權（僅能在到期日履約的選擇權）的理論合理價值。這個計算器只需五項輸入，就能立即算出買權價格、賣權價格，以及中間因子 d_1 與 d_2。

請輸入標的資產目前的現貨價格（S）、選擇權的履約價（K）、以年為單位的到期時間（例如 0.5 代表六個月）、年化的無風險利率（以百分比表示），以及年化的波動率（同樣以百分比表示）。計算器會在內部自動把百分比換算成小數，並一次算出買權與賣權兩種價格。

模型會先計算兩個標準化的數值：

接著買權價值為

其中 N(·) 為標準常態累積分布函數。賣權價值則由買賣權平價關係（put-call parity）導出：式中 e^{-rT} 將履約價折現回現值，而 N(d_1)、N(d_2) 代表與選擇權到期時處於價內（in the money）相關的風險調整機率。

假設 S = 100、K = 100、T = 1 年、r = 5%、\sigma = 20%。則 \sigma√(T) = 0.20，

d_2 = 0.15。代入 N(0.35) ≈ 0.6368、N(0.15) ≈ 0.5596，買權價格約為 賣權價格則約為 5.57。

Black-Scholes 公式需要 N(d_1) 和 N(d_2)，即累積標準常態分佈函數——標準常態隨機變數小於或等於 d 的機率。下表列出 N(d) 從 -3.0 到 3.0 的值，增量為 0.1。

d	N(d)	d	N(d)
-3.0	0.0013	0.1	0.5398
-2.9	0.0019	0.2	0.5793
-2.8	0.0026	0.3	0.6179
-2.7	0.0035	0.4	0.6554
-2.6	0.0047	0.5	0.6915
-2.5	0.0062	0.6	0.7257
-2.4	0.0082	0.7	0.7580
-2.3	0.0107	0.8	0.7881
-2.2	0.0139	0.9	0.8159
-2.1	0.0179	1.0	0.8413
-2.0	0.0228	1.1	0.8643
-1.9	0.0287	1.2	0.8849
-1.8	0.0359	1.3	0.9032
-1.7	0.0446	1.4	0.9192
-1.6	0.0548	1.5	0.9332
-1.5	0.0668	1.6	0.9452
-1.4	0.0808	1.7	0.9554
-1.3	0.0968	1.8	0.9641
-1.2	0.1151	1.9	0.9713
-1.1	0.1357	2.0	0.9772
-1.0	0.1587	2.1	0.9821
-0.9	0.1841	2.2	0.9861
-0.8	0.2119	2.3	0.9893
-0.7	0.2420	2.4	0.9918
-0.6	0.2743	2.5	0.9938
-0.5	0.3085	2.6	0.9953
-0.4	0.3446	2.7	0.9965
-0.3	0.3821	2.8	0.9974
-0.2	0.4207	2.9	0.9981
-0.1	0.4602	3.0	0.9987
0.0	0.5000

對稱性注意：標準常態分佈在零處對稱，所以 N(-d) = 1 - N(d)。例如，N(-1.0) = 1 - N(1.0) = 1 - 0.8413 = 0.1587。這讓你可以從表的正值部分讀出任何負引數。

現貨價格 (S)

標的資產的當前市場價格，以貨幣單位每股表示（例如美元）。這是評估期權的起點。

執行價格 (K)

期權持有人可在到期時買入（看漲）或賣出（看跌）標的資產的固定價格，單位與 S 相同。

到期時間 (T)

期權的剩餘有效期，以年表示（例如 6 個月 = 0.5，90 天 ≈ 0.2466）。Black-Scholes 對只能在到期時行使的歐式期權進行定價。

無風險利率 (r)

期權有效期內無風險投資的連續複利年利率，以小數表示（5% = 0.05）。在計算器中以百分比輸入，然後除以 100。

波動率 (σ)

標的資產連續複利收益率的年化標準差，以小數表示（20% = 0.20）。波動率越高，看漲期權和看跌期權的價值都越高。

d1

一個無量綱的中間項，d_1 = \dfrac{\ln(S/K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma√(T)}。它用於 N(d_1) 項的計算，並等於看漲期權的 delta。

d2

d_2 = d_1 - \sigma√(T)，也是無量綱的。N(d_2) 是看漲期權在到期時價內的風險中性機率。

N(d) — 累積常態

累積標準常態分佈函數：標準常態變數最多為 d 的機率。它返回 0 到 1 之間的值（一個機率，無量綱）。

折現因子 (e^-rT)

將到期時支付的執行價格折現至今日的現值因子，使用連續複利無風險利率。無量綱，介於 0 到 1 之間。

下面的基礎情景固定四個輸入，一次改變其中一個，以便每個區塊只隔離一個驅動因素。基礎情景：現貨 S = 100，執行價格 K = 100（平價），時間 T = 1 年，無風險利率 r = 5%，波動率 \sigma = 20%。在這些值下，看漲期權的價值約為 10.45，看跌期權約為 5.57。

改變的變數	值	看漲期權價格	看跌期權價格
波動率 σ	10%	6.80	1.92
	20%（基礎）	10.45	5.57
	40%	18.02	13.14
到期時間 T	0.25 年	4.61	3.37
	1 年（基礎）	10.45	5.57
	2 年	16.13	6.61
價內外情況（現貨 S）	90（價外看漲）	5.09	10.21
	100（平價，基礎）	10.45	5.57
	110（價內看漲）	17.66	2.78

值得注意的模式：波動率越高，看漲期權和看跌期權的價值都越高，因為更大的離散度增加了可選上升空間的價值，而下行空間被限制在零。時間越長，看漲期權通常會上漲（有更多機會在到期時價內，加上執行價格有更大折現）；看跌期權的時間價值也會上升，但時間敏感性較弱，因為執行價格的折現會對其產生不利影響。提高現貨價格會增加看漲期權並降低看跌期權。所有數字都使用相同的模型和舍入；與實時計算結果的微小差異可能源於中間舍入。