💰 Black-Scholes 歐式買權定價計算器

這個工具運用 Black-Scholes（Black-Scholes-Merton）模型，為「無配發股利」標的資產的歐式買權（European Call）定價。它屬於通用的金融數學——無論在哪個市場、使用哪種貨幣，公式都完全一致。模型假設無風險利率採連續複利，而到期時間則以「年」為單位表示。

請輸入標的資產目前的現貨價 S、履約價（執行價）X、年化無風險利率 r（以每年百分比表示）、到期時間 T（以年為單位，例如兩個月＝0.16667），以及年化波動率（標準差）\sigma（以每年百分比表示）。計算器會回傳理論買權權利金，並附上中間計算項 d_1、d_2、N(d_1) 與 N(d_2)。

先將 r 與 \sigma 由百分比換算為小數：

其中 N(·) 為標準常態累積分配函數，以 N(x) = 0.5≤ft(1 + erf≤ft(x/√(2)\right)\right) 計算，並採用有理函數近似 erf，精度約達 1e{-7}。

假設 S = 14500、X = 14000、r = 6%、T = 2/12 = 0.16667 年、\sigma = 38%。則 \sigma√(T) = 0.15513，\ln(S/X) = 0.035091，d_1 = 0.36823，d_2 = 0.21310，N(d_1) = 0.6437，N(d_2) = 0.5844，e^{-rT} = 0.99005。買權價格

個貨幣單位。

現貨價格 S

標的資產的當前市場價格。

執行價格 X

持有人可以在到期時購買標的資產的固定價格。

無風險利率 r

期權存續期間無風險投資的連續複利年利率，在公式中以小數表示。

到期時間 T

距離到期日的剩餘時間，以年為單位測量（例如六個月 = 0.5）。

波動率 \sigma

標的資產連續複利收益的年化標準差，以小數表示。

d_1

標準化項 d_1=\dfrac{\ln(S/X)+(r+\sigma^2/2)T}{\sigma√(T)}；N(d_1) 是買權的 delta（權利金對現貨的敏感度）。

d_2

定義為 d_2=d_1-\sigma√(T)。

N(d_1)、N(d_2)

標準常態累積分佈函數在 d_1 和 d_2 處的值，各介於 0 和 1 之間。

歐式買權

賦予持有人權利（但非義務）在執行價格購買標的資產的期權，僅在到期時可行使（不能提前行使）。

權利金 C

買權的理論公允價值（價格），是公式的輸出。

內在價值

立即行使時的價值，買權為 \max(S-X,0)。

時間價值

權利金中超過內在價值的部分，反映到期前進一步有利變動的機會：C-\max(S-X,0)。

輸出 C 是 一單位 標的資產的理論公允權利金。要評估標準合約，您需要乘以合約乘數（通常為股票期權合約每份 100 股）。

在公式中，N(d_2) 是期權在到期時到價（現貨高於執行價格）的風險中立機率，而 N(d_1) 是期權的 delta——大致表示現貨小幅變動時權利金的變動幅度，以及對沖比例。項 X e^{-rT} 是在連續複利無風險利率下折現到現值的執行價格。

您可以將權利金分為兩部分：

• 內在價值 =\max(S-X,0)：買權如果現在立即行使將值多少。
• 時間價值 =C-\max(S-X,0)：其餘部分，反映到期前進一步有利變動的可能性。當期權接近平價時時間價值最大，隨著到期日臨近而縮小至零。

請牢記模型的假設。Black-Scholes 歐式買權價格假設無股息、波動率和無風險利率恆定、連續交易且無交易成本、對數常態分佈收益，以及僅在到期時行使（歐式風格）。實際市場在不同程度上違反這些假設，因此結果是一個基準估計而非保證的市場價格。這是一般教育性資訊，而非交易或投資建議。