💰 Bond Convexity 金融試算器

凸性（Convexity）衡量的是債券價格與殖利率之間關係的「彎曲程度」。存續期間（Duration）只能提供價格隨殖利率變動的一階（線性）估計，而凸性則補上了關鍵的二階修正。凸性愈高的債券，在利率上升時跌幅較小，利率下跌時漲幅又更大——對固定收益投資人來說，是相當理想的特性。本計算器同時為您算出債券的合理價格與年化凸性。

請輸入債券的面額（票面金額）、年票面利率、到期殖利率、距到期的年數，以及每年付息次數。工具會將每一筆現金流折現、加總凸性加權後的各項，並以「年²」為單位回報凸性，同時順帶顯示債券的現值（價格）。

對每一期 t，現金流 CF_t（票息，加上到期時的面額）會乘上 t(t+1)，再以 (1+y)^{t} 折現，其中 y 為每期殖利率。將此總和除以價格乘上 (1+y)^2。由於計算是以「期」為單位進行，因此再除以付息頻率的平方 m^2，把凸性換算為以「年」表示。

假設有一檔面額 1,000 的債券，年票面利率 5%、每年付息一次、殖利率 8%、距到期 2 年。現金流為：第 1 年50、第 2 年 1,050。價格

凸性衡量債券價格-收益率關係的曲率 — 當收益率變動時，債券的修正久期本身如何變化。它是價格相對於收益率的泰勒展開式中的二階項，完善了單靠久期提供的直線估計。

組合的價格變化近似值為：

其中 D 是修正久期，C 是凸性，Δ y 是收益率變化（以小數形式）。第一項是線性久期估計；第二項對於無期權債券總是正的（因為 C>0 且 (Δ y)^2 ≥ 0），因此當收益率下降時它會增加價格，當收益率上升時會減輕損失。

較高與較低凸性。 較高的凸性數字意味著價格-收益率曲線的彎曲度更大：當收益率下降時債券的收益更多，當收益率上升時損失更少，超過久期單獨預測的幅度。這種不對稱性對債券持有人通常是有利的。較低的凸性意味著價格表現得更像直線 — 久期估計更加準確，二階收益較小。

什麼會提高凸性？ 在其他條件相同的情況下，凸性隨著更長的到期時間而增加（現金流分散得更遠並折現更多），隨著較低的票面利率（價值的更大份額位於遠期最終支付 — 零息債券對其到期時間具有最高凸性），以及隨著較低的收益率而增加。它隨著較高的票面利率和較短的期限而減少。

實際例子。 假設債券的修正久期 D = 7.0 年，凸性 C = 65 年²，收益率上升 Δ y = 0.01（100 個基點）。估計的價格變化為 -7.0(0.01) + \tfrac{1}{2}(65)(0.01)^2 = -0.070 + 0.00325 = -0.06675，或約 −6.68% — 大約比 −7.00% 的久期單獨估計嚴重 0.33 個百分點。

本說明反映了標準的固定收益理論，僅供教育目的；它不是投資建議。

面值（票面價值）

在到期時償還給債券持有人的本金金額，也是計算票面利率的基礎。在公式中為 face；1,000 是常見的約定。

票面利率

債券上規定的年利率，適用於面值以確定總年度票面利率。欄位 coupon，以百分比輸入。

到期收益率（YTM）

等同於所有未來現金流現值與債券價格的單一年度折現率 — 如果持有至到期的債券的內部收益率。欄位 yield，以百分比輸入。

週期收益率 (y)

每個支付期間的收益率：y = \dfrac{YTM/100}{k}。凸性總和中的所有折現都使用此週期利率。

每年支付次數 (k)

複利/票面利率頻率：1（年度）、2（半年）、4（季度）或 12（月度）。它將年度數字轉換為週期數字，並設置總週期數 n = 年數× k。

現金流 (CF_t)

在週期 t 中收到的支付：每個週期的週期票面利率 \dfrac{face×coupon/100}{k}，加上在最後週期 t=n 中返回的面值。

久期

價格對收益率的一階（線性）敏感性 — 大約收到現金流的加權平均時間，以年為單位測量。它給出了價格變化的直線估計。

凸性

二階敏感性 — 價格-收益率關係的曲率。它校正久期的直線估計，特別是對於大的收益率變動。

凸性單位（年²）

因為凸性是價格相對於收益率的二階導數（按價格縮放），其自然單位是時間平方，習慣上以年² 表示。它用於價格變化公式的 \tfrac{1}{2}C(Δ y)^2 項。