💰 指數成長計算機

指數成長計算機可以推算一筆起始金額在每年以相同百分比增加時，會成長到多少。無論是複利儲蓄與投資、人口成長、用戶數擴張，或任何以固定年率持續複利累積的數量，都適用。你只要輸入三個數值，工具就會回傳未來終值、總成長金額、成長百分比，以及一份可逐年追蹤的明細表。

• 初始值——你的起始金額（例如本金、目前的人口數等）。
• 年成長率（每年 %）——數值每年上升的百分比。要表示 5%，請輸入 5，而不是 0.05。
• 期間（年）——成長持續的時間長度。可以輸入小數，例如 7.5 年也沒問題。

本計算機採用年複利（離散）成長：

A = P × (1 + r / 100)^t

其中 P 為初始值，r 為以百分比表示的年率，t 為年數。它同時會算出總成長 = A − P，以及成長百分比 = (A − P) / P × 100。逐年明細表是在每一個整數年（0、1、2……）套用公式而建立的；若你的期間帶有小數，最後會在那個確切的小數年再加上一個資料點。

假設你以初始值 1,000 進行投資，年成長率為 6%，期間為 10 年：

• A = 1,000 × (1 + 6 / 100)¹⁰ = 1,000 × 1.06¹⁰ ≈ 1,790.85
• 總成長 ≈ 1,790.85 − 1,000 = 790.85
• 成長百分比 ≈ 79.08%

逐年明細表會顯示：第 0 年為 1,000、第 1 年為 1,060、第 2 年為 1,123.60，依此類推，一直到第 10 年。

此計算器返回的數字是一個名義預測：它假設同一增長率在整個期間內每年不間斷地應用一次。這是算術運算，不是預測 — 真實儲蓄率、投資回報率和人口增長率每年都會變化。

基本關係是

其中 P 是初始值，r 是百分比年率，t 是年數。兩個導出量使輸出更易讀：

• 總增長 = A - P — 增加（或減少）的絕對金額。
• 百分比增加 = \dfrac{A - P}{P} × 100 — 整個期間的總變化，不是每年。

例如，10,000 以每年 5% 的速度增長 10 年得到 10,000 × 1.05^{10} = 16,288.95。總增長為 $6,288.95，百分比增加為 62.89% — 遠高於 5 × 10 = 50%，因為每年的增長本身也在複合。

結果不包括的內容

預測忽略了通貨膨脹、稅收、費用、提款和額外貢獻。如果您計劃定期增加資金，此工具會低估餘額；如果適用費用或稅收，它會高估。要將名義數字轉換為今天的購買力，請按預期通貨膨脹率 i 進行折扣：

繼續該示例，在 3% 的平均通貨膨脹率下，16,288.95 在今天的貨幣中價值約 16,288.95 / 1.03^{10} = 16,288.95 / 1.343916 ≈12,120.51 — 真實收益約為 21%，而非 63%。

負率和倍增時間

負率將相同的公式轉變為指數衰減：增長因子 1 + r/100 降至 1 以下，因此每年將值乘以向下。在 −3% 10 年時，10,000 變成 7,374.24，損失 26.26%。數學上衰減永遠不會達到正好的零；它漸近地接近它。

對於正率，倍增時間由 72 法則近似：

並由以下精確給出

在 7% 時，經驗法則給出 72/7 ≈ 10.3 年，精確數字是 0.693147 / 0.067659 = 10.24 年。近似值對於大約 5% 至 10% 之間的率最接近，並在非常高或非常低的率下漂移。

本節僅描述數學模型。這是一般信息，不是財務、投資或稅務建議；對於涉及您自己的金錢的決定，請諮詢合格的專業人士。

下面的每一行都從相同的初始值 10,000 開始，並使用 A = P × (1 + r/100)^{t}，四捨五入到小數點後兩位。貨幣沒有標記 — 美元、歐元、盧比或人口計數的算術是相同的。

閱讀模式

1. 速率的影響比看起來更大。 在 30 年內，將速率從 5% 增加到 10% 倍增不會將結果倍增（43,219.42 → 174,494.02）— 它會使其增加四倍，因為指數放大了差異。
2. 時間是第二個槓桿。 在 7% 時，前 10 年增加 9,671.51；最後 10 年（從第 20 年到第 30 年）在相同的起始資本上增加 37,425.71。
3. 倍增檢查點。 7%/10 年行幾乎正好翻倍（19,671.51），符合 72 法則估計的 10.3 年。
4. 衰減是不對稱的。 每年損失 3%，持續 10 年只除去 26.26%，而不是 30%，因為每年的損失是從更小的基數中扣除的。

這些行是說明性算術，不是任何特定資產、國家或市場的預期回報。

初始值/本金 (P)

時間零時的起始數量 — 存款、投資餘額、人口計數或任何可測量的金額。它必須以您想要的答案的相同單位輸入。

年增長率 (r)

每年應用一次的百分比變化，以百分比形式輸入（5 表示 5%，不是 0.05）。速率只有附加其週期才有意義；月度速率必須在此處使用前轉換為年度速率。

時間週期 (t)

應用速率的年數。小數年是有效的：t = 2.5 簡單地將增長因子提高到 2.5 次方。

增長因子 (1 + r/100)

每年應用的乘數。高於 1 數量增長，正好 1 保持不變，低於 1（負 r）它縮小。在 5% 時因子是 1.05；在 −3% 時它是 0.97。

未來/最終金額 (A)

t 年後的預計值，A = P(1 + r/100)^{t}。這是名義數字 — 未調整通貨膨脹、稅收或費用。

總增長

絕對變化，A - P。當速率為負時為負。它回答「增加了多少」，而未來值回答「有多少」。

百分比增加

整個期間的累積變化，(A - P)/P × 100。它複合，所以對於正率總是大於 r × t：10 年的 5% 是 62.89%，而不是 50%。

指數衰減

具有負率的相同公式，通常寫成 A = P(1 - d/100)^{t}，其中 d 是下降速率。用於折舊、放射性衰減和人口縮減。其類似於倍增時間的是半衰期，t_{1/2} = \ln(0.5)/\ln(1 - d/100)。

離散與連續複合

此計算器使用離散年度複合 — 每年分一步應用增長。在連續複合下，值改為遵循 A = P e^{rt}，r 為小數。連續複合始終為相同名義速率提供稍大的結果：在 5% 超過 10 年時，e^{0.5} = 1.6487 對於 1.05^{10} = 1.6289。

倍增時間

值達到 2P 所需的年數。由 72 法則近似，72/r，並精確計算為 \ln 2 / \ln(1 + r/100)。在 10% 時精確答案是 7.27 年對比經驗法則 7.2。

CAGR（複合年增長率）

反向問題：給定開始和結束值，什麼恆定年率連接它們？

r = ≤ft(≤ft(((A) ÷ (P))\right)^{1/t} - 1\right) × 100

從 10,000 增長到 26,532.98 超過 20 年得到 (2.653298)^{0.05} - 1 = 0.05，即 CAGR 為 5%。CAGR 消除所有年度波動性，因此兩個截然不同的路徑可以共享相同的 CAGR。

這裡的定義是數學的，適用於任何貨幣或國家；它們是一般信息而非財務建議。