📐 Average 計算機

只要輸入一串數字，這個工具就會立即算出一整組摘要統計量：平均值（算術平均數）、總和、輸入的數字個數（數量）、中位數、幾何平均數、最小值、最大值、全距，以及眾數。不必逐項分開計算，所有結果只要一個輸入欄位就能一次到手。

畫面上只有一個輸入欄位：數字。將你的數值以逗號、空格、分號或換行分隔輸入即可——這幾種分隔方式都能辨識。負數與小數完全支援（例如 -4, 12.5, 8）。任何不是有效數字的內容都會被自動忽略，因此夾雜的文字或符號不會影響計算結果。若找不到任何有效數字，計算機會提示輸入無效。

• 總和——所有數值相加的結果
• 數量——偵測到的有效數字個數
• 平均值（平均數）——總和除以數量
• 中位數——排序後位於中間的數值
• 最小值、最大值、全距——最小、最大，以及兩者之差
• 幾何平均數與眾數——其他衡量集中趨勢的指標

平均值就是算術平均數：

白話來說：把所有數字加總（\sum x_i），再除以數量（n）。全距的算法是 最大值 − 最小值；中位數則是把整串數字排序後正中間的值（若數量為偶數，則取中間兩個數的平均）。

假設你輸入：4, 8, 15, 16, 23, 42

• 數量（n）= 6
• 總和 = 4 + 8 + 15 + 16 + 23 + 42 = 108
• 平均值 = 108 ÷ 6 = 18
• 中位數 = (15 + 16) ÷ 2 = 15.5
• 最小值 = 4，最大值 = 42，全距 = 42 - 4 = 38

這些是平均計算器報告的中心趨勢和離散度措施。了解它們之間的差異有助於為數據選擇正確的摘要。

總和

通過將數據集中的每個值相加得到的總數：\sum x_i。

計數 (n)

數據集中的值的數量。計算平均值時使用的分母。

平均值（算術平均）

總和除以計數，\bar{x} = ((\sum x_i) ÷ (n))。這是最常見的「平均值」，對每個值給予相等的權重。

幾何平均值

所有值的乘積的 n 次方根，≤ft(\prod_{i=1}^{n} x_i\right)^{1/n}。與算術平均值不同，它是相乘而不是相加，使其適合於增長率和比率。它需要正值，且總是小於或等於算術平均值。

中位數

數據排序後的中間值。計數為奇數時，它是單一的中心值；計數為偶數時，它是兩個中心值的平均值。不受極端異常值的影響。

眾數

出現最頻繁的值。數據集可以有一個眾數、多個眾數或沒有眾數（如果每個值都是唯一的）。與關於位置的中位數不同，眾數關於頻率。

範圍

最大值和最小值之間的差值，範圍 = x_{\max} - x_{\min}。這是最簡單的離散度測度。

最小值和最大值

數據集中最小和最大的值，分別。

算術平均值與幾何平均值：算術平均值相加值並除以數量；幾何平均值相乘值並取根。中位數與眾數：中位數是排序數據的位置中心，而眾數是最常見的值——它們可以是非常不同的數字。

每個統計量都回答關於您的數字的不同問題。一起閱讀它們比任何單一值都能提供更完整的圖景。

平均值與中位數：信任哪個「平均值」

對於大致對稱的數據，平均值和中位數接近，平均值是一個很好的摘要。當數據呈現偏斜或包含異常值時，平均值會向極端值傾斜，而中位數則停留在數據的大部分附近。例如，在收入、房價或任何具有長尾的數據集中，中位數通常是更具代表性的「典型」值。平均值和中位數之間的大差距本身就是偏斜的信號。

何時適合使用幾何平均值

對於複合或以利率、比率或乘法因子表示的數量使用幾何平均值——投資回報、人口增長、價格指數和百分比變化。由於它反映了複合，它回答了「什麼恆定增長因子會產生相同的最終結果？」增長率的算術平均值高估了真實平均增長，這就是為什麼幾何平均值是正確的選擇。

範圍和眾數揭示的內容

範圍是總體離散度的快速衡量——極值相隔多遠——但它只查看兩個值，對單個異常值高度敏感。為了獲得更穩健的變異性感知，將其與中位數或標準差測度配對。眾數突出了頻率：它告訴您最常見的結果，這對於「平均值」沒有多大意義的分類或重複數據特別有用（例如，最常見的評級或鞋碼）。

示例 1——包含重複值的數據集（眾數）

考試成績：7, 8, 8, 9, 10。

• 總和：7+8+8+9+10 = 42
• 計數：n = 5
• 平均值：((42) ÷ (5)) = 8.4
• 排序後，中間值是第 3 個，所以中位數是 8。
• 值 8 出現了兩次（比任何其他值都多），所以眾數是 8。

這裡平均值 (8.4)、中位數 (8) 和眾數 (8) 都很接近，因為數據相當對稱，但眾數特別標記 8 是最頻繁的分數。

示例 2——增長率（幾何平均值）

投資在三年內以 1.10、1.20 和 0.90 的因子增長（即 +10%、+20% 和 −10%）。正確的平均增長因子是幾何平均值：

因此等效的穩定增長約為每年 1.0591（≈ 5.91%）。注意因子的算術平均值，((1.10+1.20+0.90) ÷ (3)) ≈ 1.0667，會高估真實的複合增長。

示例 3——偶數計數與負數和小數（中位數平均）

每日溫度變化 (°C)：−2.5、−1.0、0.5、3.0。

• 總和：-2.5 + (-1.0) + 0.5 + 3.0 = 0.0
• 計數：n = 4
• 平均值：((0.0) ÷ (4)) = 0.0
• 排序：−2.5、−1.0、0.5、3.0。計數為偶數時，中位數是兩個中間值的平均值：((-1.0 + 0.5) ÷ (2)) = -0.25
• 範圍：3.0 - (-2.5) = 5.5

這展示了如何計算偶數大小集合的中位數，方法是對兩個中心值取平均，以及負數和小數的處理方式與正整數相同。