📐 Average Of Fractions 計算機

這個工具可以計算一串數值的平均數（算術平均數），這些數值可以包含真分數、假分數、帶分數，以及一般的整數。它不會只給你一個四捨五入後的小數，而是回傳一個精確、且已化到最簡的分數，並逐步顯示完整的運算過程，因此也是學習分數運算的好幫手。

把你的數值輸入框中，並以逗號分隔。每個數值可以是整數，例如 3 或 -5；可以是分數，例如 1/2 或 9/12；也可以是帶分數，例如 3 5/8（在整數部分與分數部分之間留一個空格）。在最前面加上負號，會讓整個數值變為負數。按下計算，就能看到平均數及其小數近似值。

首先，每個數值都會先轉換成假分數。計算器會找出最小公分母（LCD），也就是所有分母的最小公倍數（LCM），再把每個分數改寫成以這個 LCD 為分母的形式。接著把改寫後的所有分子相加得到 S，因此所有輸入值的總和為 S / LCD。再除以數值的個數 n，即可得到平均數：

最後，這個分數會以其最大公因數（GCD）約分為最簡分數。

以 1, 1/2, 3/4, 9/12, 3 5/8, -12/16 為例，轉換成假分數後分別是 1/1、1/2、3/4、9/12、29/8、-12/16，所以 n = 6。最小公分母為 48。以 48 為分母改寫後，分子分別為 48、24、36、36、174、-36，總和為 282，因此 282/48 = 47/8。再除以 6，得到 47/48 ≈ 0.97917。

每個示例遵循相同的四個步驟：求最小公分母（LCD）、將每個分數改寫成以LCD為分母的形式並相加分子、將該和除以數量 n，然後化簡至最簡形式。

示例 1 — 三個簡單分數：\tfrac13,\ \tfrac16,\ \tfrac14

1. 最小公分母。分母為 3、6 和 4。3、6 和 4 的最小公倍數是 12。
2. 改寫並相加。 \tfrac13=\tfrac{4}{12}、\tfrac16=\tfrac{2}{12}、\tfrac14=\tfrac{3}{12}。和為 \tfrac{4+2+3}{12}=\tfrac{9}{12}。
3. 除以 n=3。 \dfrac{9/12}{3}=\dfrac{9}{36}。
4. 化簡。 \gcd(9,36)=9，所以 \tfrac{9}{36}=\tfrac{1}{4}。

平均值 =\tfrac14=0.25。

示例 2 — 負帶分數：-1\tfrac12,\ -2\tfrac34

1. 轉換為假分數。 -1\tfrac12=-\tfrac32 且 -2\tfrac34=-\tfrac{11}{4}。
2. 最小公分母。分母 2 和 4 給出最小公分母 =4。改寫：-\tfrac32=-\tfrac{6}{4}、-\tfrac{11}{4} 保持不變。和 =\tfrac{-6-11}{4}=-\tfrac{17}{4}。
3. 除以 n=2。 \dfrac{-17/4}{2}=-\dfrac{17}{8}。
4. 化簡 / 轉換。 \gcd(17,8)=1，已是最簡形式。作為帶分數 -\tfrac{17}{8}=-2\tfrac18。

平均值 =-\tfrac{17}{8}=-2.125。

示例 3 — 整數與假分數混合：2,\ 5,\ \tfrac72

1. 將所有內容寫成分數。 2=\tfrac21、5=\tfrac51 和 \tfrac72。
2. 最小公分母。分母 1、1 和 2 給出最小公分母 =2。改寫：\tfrac21=\tfrac42、\tfrac51=\tfrac{10}{2}、\tfrac72。和 =\tfrac{4+10+7}{2}=\tfrac{21}{2}。
3. 除以 n=3。 \dfrac{21/2}{3}=\dfrac{21}{6}。
4. 化簡。 \gcd(21,6)=3，所以 \tfrac{21}{6}=\tfrac72=3\tfrac12。

平均值 =\tfrac72=3.5。

算術平均數（平均值）

所有數值的和除以有多少個數值：\bar{x}=((i=1) ÷ (n))x_i。對於分數，這表示將它們全部相加並將總和除以數量 n。

分子

分數 \tfrac{a}{b} 的上面數字；它計算取了多少個相等的部分。

分母

分數 \tfrac{a}{b} 的下面數字 b；它說明整體被分成多少個相等的部分。它不能為零。

假分數

分子大於或等於其分母的分數，例如 \tfrac72。它的值至少為 1，可以改寫成帶分數。

帶分數

整數與真分數的組合，例如 2\tfrac34。轉換為假分數時等於 \tfrac{2·4+3}{4}=\tfrac{11}{4}。

最小公分母（LCD）

每個分母都能整除的最小正數——即分母的最小公倍數。它允許您將所有分數改寫成一個共同的分母，以便它們可以被相加。

最小公倍數（LCM）

是兩個或多個數中每個數的倍數的最小正整數。一組分數的最小公分母正好是它們分母的最小公倍數。

最大公因數（GCD）

將兩個數整除且沒有餘數的最大正整數（也稱為最大公因子或最高公因子）。將分數的分子和分母除以它們的最大公因數可以化簡該分數。

化簡（最簡）形式

當分數的分子和分母除了 1 以外沒有其他公因子時，該分數就是最簡形式——即 \gcd(a,b)=1。例如 \tfrac{9}{36} 化簡為 \tfrac14。