📐 Average Rate Of Change 計算機

平均變化率（Average Rate of Change，簡稱 ARC）用來衡量在區間 [a, b] 上，輸入值每增加一個單位時，函數輸出值平均改變了多少。從幾何角度來看，它就是連接函數圖形上兩點 (a, f(a)) 與 (b, f(b)) 的割線斜率。平均變化率是代數與微積分中最基礎的概念之一，恰好把「斜率」與「導數」這兩個觀念串連起來。

只需輸入四個數值：第一點的函數值 f(a)、第一個輸入值 a、第二點的函數值 f(b)，以及第二個輸入值 b。計算機會把兩個輸出值相減、兩個輸入值相減，再相除，即可得到平均變化率。下方兩列輔助資訊會分別顯示分子（f 的變化量）與分母（x 的變化量），讓你能一步步看懂整個計算過程。

公式為

假設 f(x) = x^2，則 f(1) = 1、f(3) = 9。此時 a = 1、b = 3、f(a) = 1、f(b) = 9。代入公式：

每個範例都使用平均變化率公式 A = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}。分子是輸出的變化（Δ y）；分母是輸入的變化（Δ x）。

範例 1 — 線性函數（常數平均變化率）

設 f(x) = 3x + 2 在區間 [1, 5] 上。

• f(a) = f(1) = 3(1) + 2 = 5
• f(b) = f(5) = 3(5) + 2 = 17

代入公式：

結果是 3。對於任何線性函數，平均變化率等於直線的斜率，因此在每個區間上都相同 — 一個恆定的變化率。

範例 2 — 遞減函數（負平均變化率）

設 f(x) = -x^2 + 4 在區間 [1, 3] 上。

• f(a) = f(1) = -(1)^2 + 4 = 3
• f(b) = f(3) = -(3)^2 + 4 = -5

代入：

結果是 -4。負值表示輸出在該區間上平均下降 — 函數在那裡遞減。

範例 3 — 平方根具有非整數輸出，f(x)=√(x) 在 [1,4] 上

• f(a) = √(1) = 1
• f(b) = √(4) = 2

代入：

結果是 \tfrac{1}{3} ≈ 0.3333。這個小正值顯示平方根函數在此區間上上升緩慢。

平均變化率告訴您在區間 [a,b] 上，函數的輸出按輸入單位變化的速度和方向有多快。

• 正平均變化率：輸出平均增加 — 函數從 a 上升到 b。值越大，平均上升越陡峭。
• 負平均變化率：輸出平均下降 — 函數在該區間上下降。
• 零平均變化率：淨變化為零；f(a) = f(b)。即使函數可能在中間上升和下降，它也會返回到相同的輸出值。

大小 = 陡峭度。絕對值 |A| 測量函數平均變化的陡峭程度；平均變化率為 6 的陡峭程度是平均變化率為 3 的兩倍，平均變化率為 -4 比 2 的陡峭。

單位。平均變化率攜帶輸出單位除以輸入單位的單位 — 「每個輸入單位的輸出單位。」例如，每年美元、每秒米或每分鐘度數。在應用問題中始終說明單位，以便數字有意義。

與斜率和應用速率的關係

從幾何上講，平均變化率等於連接圖形上兩點 (a, f(a)) 和 (b, f(b)) 的 割線的斜率 — 恰好是這兩點之間的上升/運行。

在應用環境中，同一公式有熟悉的名稱。當 f 是位置作為時間的函數時，平均變化率是 平均速度 Δ x / Δ t；當 f 是時間上的速度時，它是 平均加速度 Δ v / Δ t。當區間收縮到單點時，平均變化率接近 瞬時 變化率 — 導數。

平均變化率（ARC）

函數輸出的變化除以區間上的輸入變化：A = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}。它描述函數在 [a,b] 上的淨每單位變化。

區間 [a,b]

輸入值的閉合範圍，從下端點 a 到上端點 b，在此區間上測量變化率，其中 a ≠ b。

f(a) 和 f(b)

函數在區間端點處的輸出值 — 起始輸出 f(a) 和結束輸出 f(b)。

Δ y（輸出變化）

輸出值的差異，Δ y = f(b) - f(a)；平均變化率的分子，也稱為「上升」。

Δ x（輸入變化）

輸入值的差異，Δ x = b - a；平均變化率的分母，也稱為「運行」。

割線

通過曲線上兩點的直線，此處為 (a, f(a)) 和 (b, f(b))。平均變化率等於此割線的斜率。

斜率

直線的陡峭程度，以上升/運行測量，Δ y / Δ x。平均變化率是所選兩點之間割線的斜率。

瞬時變化率（導數）

單點處的變化率，f'(x)，當區間長度接近零時作為平均變化率的極限獲得。它等於該點處切線的斜率。