📐 Bessel Function Jy 計算機

本工具用來求解貝索微分方程 x^2y'' + xy' + (x^2 - v^2)y = 0 的兩個線性獨立解：第一類貝索函數 J_v(x)、第二類貝索函數 Y_v(x)（又稱諾伊曼函數，Neumann function），以及它們的一階導數 J'_v(x) 與 Y'_v(x)。它可接受任意實數階 v（整數、分數或負數），以及任意實數引數 x。貝索函數在物理與工程領域無所不在——圓形薄膜的振動、圓柱體的熱傳導、波導中的電磁波，以及訊號處理等都會用到。

輸入階數 v（例如 0、1 或 0.5）、引數 x，再選擇要顯示的位數。按下計算，即可一次看到四個數值。當階數不是整數時，請使用 x ≥q 0，因為當 x 為負時 ≤ft(((x) ÷ (2))\right)^{v} 會變成複數。在 x = 0 時，第二類函數會發散（奇異），會標示為「未定義」。

J_v(x) 由其冪級數搭配伽瑪函數計算而得，採用穩定的遞迴逐項相加，直到各項小於容許誤差為止。

對於非整數階，Y_v(x) 使用

若為整數階，計算器會將 v 微幅擾動（增加 1e{-7}），以避免分母 \sin(\nuπ)=0 造成除以零。導數則使用遞迴關係

並對特例 C'_0(x) = -C_1(x) 另行處理。

當 v = 0 且 x = 1 時：J_0(1) 的級數為

其餘已知值為 Y_0(1) ≈ 0.0882570、J'_0(1) = -J_1(1) ≈ -0.4400506，以及 Y'_0(1) = -Y_1(1) ≈ 0.7812128。

階數 \nu

微分方程 x^2 y'' + x y' + (x^2-\nu^2)y = 0 中 J_\nu(x) 和 Y_\nu(x) 的參數 \nu，用於設定微分方程的形式。它可以是任何實數；整數階 (\nu = 0,1,2,\dots) 源自圓柱坐標中的角度分離，而半整數階產生可用初等函數表示的球形貝塞爾函數。

自變數 x

函數求值的自變數，通常是縮放的徑向距離 x = kr。對於實數 x，當 \nu 為整數時 J_\nu 是實值的，而 Y_\nu 僅在 x>0 時定義。

第一類貝塞爾函數 J_\nu(x)

在原點處有限的解（對於 \nu≥ 0），由級數 J_\nu(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(((-1)^k) ÷ (k! \Gamma(\nu+k+1)))≤ft(\tfrac{x}{2}\right)^{2k+\nu} 定義。當 x 增加時，它以緩慢衰減的幅度振盪。

第二類貝塞爾函數 Y_\nu(x)

也稱為紐曼（或韋伯）函數，是第二個線性獨立解。它通過 Y_\nu(x)=\dfrac{J_\nu(x)\cos(\nuπ)-J_{-\nu}(x)}{\sin(\nuπ)} 定義（對於整數 \nu 有極限形式），在原點處以對數或 x 的冪次發散。

導數 J'_\nu(x)、Y'_\nu(x)

關於 x 的導數。它們滿足遞推關係 C'_\nu(x)=\tfrac{1}{2}\bigl(C_{\nu-1}(x)-C_{\nu+1}(x)\bigr) 和 C'_\nu(x)=C_{\nu-1}(x)-\tfrac{\nu}{x}C_\nu(x)，其中 C 代表 J 或 Y。特別地，J'_0(x)=-J_1(x)。

伽馬函數 \Gamma(z)

階乘的連續擴展，對於非負整數有 \Gamma(n+1)=n!，出現在 J_\nu 級數的分母中以允許非整數階。查看 伽馬函數計算機 以獲取個別值。

零點（根）

J_\nu(x)=0 或 Y_\nu(x)=0 的值 j_{\nu,m} 和 y_{\nu,m}。這些在邊界值問題中用作特徵值；例如，固定邊緣圓形膜的頻率與零點 j_{\nu,m} 成正比。