📐 Bessel Function Y Table 計算機

這個工具能為第二類貝索函數製作數值表，這個函數又稱 Weber 函數或 Neumann 函數，記為 Y_{\nu}(x)，是貝索微分方程的第二個線性獨立解。在固定的實數階數 \nu 之下，計算器會在一連串由「起始值、增量、點數」所定義的 x 值上逐一求出 Y_{\nu}(x)，輸出完整的數值表。

輸入階數 \nu（可為非整數或負數）、x 的起始值、各點之間的增量（步長），以及迭代次數（列數）。計算器會依

（i 從 0 到 pointCount-1）建立格點，並列出每一點的 Y_{\nu}(x)。請注意，Y_{\nu}(x) 在 x = 0 處發散至負無窮大，且僅在 x > 0 時為實數，因此任何 x ≤ 0 的列都會標示為未定義。

對非整數階：

對整數階 n，取極限後可得到一個封閉形式，其中包含含 J_{n}(x)·\ln(x/2) 的對數項、一段有限的冪級數修正項，以及一段 digamma（雙伽瑪）級數。第一類函數 J_{\nu}(x) 由其冪級數累加求得，而其中的 Gamma 函數則以 Lanczos 近似法計算。

當 \nu = 0、startX = 0、stepX = 0.2、pointCount = 51 時，各列的 x 由 0.0 排到 10.0。其中 Y_{0}(0) 為未定義（-\infty），Y_{0}(0.2) ≈ -1.0811、Y_{0}(1.0) ≈ 0.0883、Y_{0}(2.0) ≈ 0.5104、Y_{0}(10.0) ≈ 0.0557。標頭顯示的「首個有限值」即為 -1.0811。

階數 \nu

參數（order 欄位），用來索引貝塞爾函數的族。它可以是任何實數。整數階（0、1、2、…）在具有圓柱對稱性的物理問題中最常見；半整數階產生球形貝塞爾函數。

第二類貝塞爾函數 Y_\nu(x)

也稱為韋伯函數或紐曼函數（有時寫作 N_\nu）。它是貝塞爾方程的解，在原點處無界（奇異）。對於非整數 \nu 定義為 Y_\nu(x) = \dfrac{J_\nu(x)\cos(\nuπ) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nuπ)}，整數情況通過極限得到。

J_\nu 對比 Y_\nu

J_\nu(x)（第一類）在 x=0 時有限；Y_\nu(x)（第二類）當 x\to 0^+ 時發散至 -\infty。它們一起形成貝塞爾方程的完整獨立解對。

貝塞爾微分方程

線性常微分方程 x^2 y'' + x y' + (x^2 - \nu^2) y = 0。其通解為 y = c_1 J_\nu(x) + c_2 Y_\nu(x)。

伽瑪函數 \Gamma(z)

階乘的連續延拓，\Gamma(n+1) = n!，出現在 J_\nu 和 Y_\nu 的級數係數中。

二階乘函數 \psi(z)

對數導數 \psi(z) = \Gamma'(z)/\Gamma(z)。它在整數階 Y_n(x) 的級數中顯式出現，該級數包含對數項 \tfrac{2}{π}\ln(x/2)J_n(x) 加上二階乘函數加權係數。

蘭茨斯逼近法

用於計算複數或實數參數的伽瑪函數 \Gamma(z) 的高度精確數值方法，通常在貝塞爾函數程序內部使用以計算級數係數。

線性獨立解

不能表示為第一個解的常數倍數的第二個解。由於 J_\nu 單獨無法表示在原點處奇異的解，Y_\nu 提供通解所需的獨立伴侶。