📐 Beta Distribution 計算機

Beta 分布是定義在區間 [0, 1] 上的連續機率分布，由兩個正的形狀參數 α（alpha）與 β（beta）所決定。由於它的取值落在單位區間內，因此特別適合用來描述比例、機率、百分比與比率——例如網站轉換率、棒球打擊率，或是貝氏推論中未知的成功機率（Beta 分布正是二項分布的共軛先驗）。

輸入兩個形狀參數 α 與 β（兩者都必須大於 0），再輸入一個介於 0 與 1 之間的 x 值。計算器會回傳該點的機率密度 f(x)，同時提供分布的平均數、變異數、標準差與眾數。α 越大，機率質量會往 1 靠攏；β 越大，則往 0 靠攏；當兩者相等時，分布會對稱地分布在 0.5 周圍。

平均數為

假設 α = 2、β = 5、x = 0.5。平均數為 ((2) ÷ (7)) ≈ 0.2857，變異數為 ((2· 5) ÷ ((7^2)(8))) = ((10) ÷ (392)) ≈ 0.02551。由於 B(2, 5) = ((1) ÷ (30))，因此密度為

貝他分佈定義在區間 [0,1] 上，其整個形狀由兩個正的形狀參數 \alpha 和 \beta 控制。平均值為 \mu = \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}，變異數為 \sigma^2 = \dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}，眾數（當 \alpha,\beta>1 時）為 \dfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}。下表顯示幾對經典參數。

有兩個突出的模式。首先，交換 \alpha 和 \beta 會將分佈關於 x=0.5 進行鏡像翻轉，所以 (2,5) 和 (5,2) 具有相同的形狀和變異數，但偏斜方向相反。其次，在保持其比率固定的情況下同時增加兩個參數（例如 (2,2) \to (5,5)）會使平均值保持在 0.5，但收縮變異數，使曲線更緊密地集中在平均值周圍。

由於貝他分佈的定義域是 [0,1]，它是未知比例、概率或速率的自然模型。每個摘要統計量回答一個不同的問題：

• 平均值 \mu=\alpha/(\alpha+\beta) 是預期比例 — 您對基礎概率的最佳單一數字估計。
• 眾數 (\alpha-1)/(\alpha+\beta-2) 是最有可能的值，即密度峰值的位置。只有當 \alpha>1 和 \beta>1 時，它才作為內部峰值存在；否則質量堆積在端點。
• 變異數和標準差衡量分散，或對比例的不確定性有多大。小的標準差意味著您確信真實值位於平均值附近。

量 \alpha+\beta 的作用類似於樣本量或集中度：越大，變異數越小，密度越尖銳地集中在平均值周圍。兩個分佈可以共享相同的平均值，但確定性卻大不相同 — 貝他(2,2) 和貝他(50,50) 都以 0.5 為中心，但後者窄得多。

在貝葉斯推論中，貝他分佈是二項式（伯努利）概然度的共軛先驗。如果您從先驗貝他(\alpha_0,\beta_0) 開始，然後觀察 s 次成功和 f 次失敗，後驗簡單地為貝他(\alpha_0+s,\ \beta_0+f)。使用均勻先驗貝他(1,1)，\alpha 實際上計數成功次數 +1，\beta 計數失敗次數 +1；後驗平均值 (s+1)/(s+f+2) 是經典的拉普拉斯成功比例規則。

最後，請記住 f(x) 是概率密度，而不是概率。其值可以超過 1（例如在緊密集中的貝他分佈峰值附近），只有曲線下兩點之間的面積 — 絕對不是單一點的高度 — 才能給出實際概率。[0,1] 上的總面積總是等於 1。

α（α 參數）

第一個形狀參數，\alpha>0。粗略地說，它代表「成功」的權重；較大的 \alpha 會將質量推向 1。

β（β 參數）

第二個形狀參數，\beta>0。粗略地說，它代表「失敗」的權重；較大的 \beta 會將質量推向 0。

機率密度 f(x)

概率密度函數，f(x;\alpha,\beta)=\dfrac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)} 對於 0≤ x≤ 1。它描述相對概然度；概率是它下方的面積。

貝他函數 B(α,β)

歸一化常數，B(\alpha,\beta)=\displaystyle\int_0^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1} dt=\dfrac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}。除以它使密度積分為 1。

Gamma 函數 Γ

階乘的連續延拓，\Gamma(n)=(n-1)! 對於正整數，一般由 \Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t} dt 定義。它連結上述貝他和 Gamma 函數。

平均值

預期值，\mu=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta} — 長期平均比例。

變異數

分散的衡量，\sigma^2=\dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}。

標準差

變異數的平方根，\sigma=√(\sigma^2)，以與 x 相同的單位表示。

眾數

最有可能的值（密度的峰值），\dfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2} 當 \alpha>1 和 \beta>1 時。

共軛先驗

一個先驗分佈，與給定的概然度相結合時，產生同一族中的後驗。貝他是二項式/伯努利概然度的共軛先驗。

定義域 [0,1]

隨機變數可以取的值的範圍。貝他分佈僅定義在閉區間 [0,1] 上，使其非常適合比例和概率。