📐 Beta Distribution Graph 計算機

Beta 分布是一種定義在區間 [0, 1] 上的連續機率分布，由兩個正的形狀參數 a 與 b 共同決定。它廣泛應用於貝氏統計（作為機率的共軛先驗分布）、可靠度分析、專案排程（PERT）以及各種比例的建模。本計算器會在一系列 x 值上計算機率密度函數 f(x)、下累積機率 P(x)（即累積分布函數）與上累積機率 Q(x)（即存活函數），並將所選函數繪製成折線圖。

先選擇要計算的函數，輸入形狀參數 a 與 b（兩者都必須大於 0），再設定起始的 x 值、間距（step）以及列數。計算器會依序在 x = 起始值、起始值 + 間距、起始值 + 2×間距……等位置計算所選函數。採用預設值（起始 0、間距 0.01、共 101 列）時，便可完整掃描 x = 0.00 到 x = 1.00 的範圍。結果會顯示第一個 x 對應的數值、一份完整的數值表，以及一張圖表。

機率密度為

其中 beta 函數 用來將曲線下的面積標準化為 1。為了確保數值穩定，我們採用對數 gamma 函數（Lanczos 近似法）來運算，因此 B(a,b) 是以 \exp(\ln\Gamma(a) + \ln\Gamma(b) - \ln\Gamma(a+b)) 計算得出。下累積機率等於正規化不完全 beta 函數 I_x(a,b)，以 Numerical Recipes 的連分數法（betacf/betai）求得；上累積機率則只需 Q = 1 - P。

取 a = 2、b = 3、x = 0.3。此時 B(2,3) = (1 · 2)/24 = 0.0833333，因此

下累積機率為 P(0.3) = I_{0.3}(2,3) = 0.3483，上累積機率則為 Q(0.3) = 1 - 0.3483 = 0.6517。

貝塔分佈是定義在支撐區間 [0,1] 上的連續機率分佈，由兩個正形狀參數 a>0 和 b>0 控制。其機率密度函數為

正規化常數 B(a,b) 是**貝塔函數**，透過伽馬函數表示為

主要時刻和形狀描述子總結如下。

量	公式	條件
平均數	\mu=\dfrac{a}{a+b}	所有 a,b>0
變異數	\sigma^2=\dfrac{ab}{(a+b)^2 (a+b+1)}	所有 a,b>0
眾數	\dfrac{a-1}{a+b-2}	a>1,\ b>1
偏度	\gamma_1=\dfrac{2 (b-a) √(a+b+1)}{(a+b+2) √(ab)}	所有 a,b>0

例如，當 a=2 和 b=5 時，平均數為 \mu=\dfrac{2}{2+5}=\dfrac{2}{7}≈ 0.2857，變異數為 \sigma^2=\dfrac{2· 5}{(7)^2(8)}=\dfrac{10}{392}≈ 0.0255。由於兩個參數都超過 1，眾數為 \dfrac{2-1}{2+5-2}=\dfrac{1}{5}=0.2。當 a=b 時，分佈關於 x=0.5 對稱，偏度為零；當 b>a 時呈右偏態，當 a>b 時呈左偏態。特殊情況 a=b=1 簡化為 [0,1] 上的標準均勻分佈。

形狀參數 a

第一個正形狀參數（a>0）。它控制密度在 x=0 附近的行為：值 a<1 將質量推向 0（密度發散），a=1 給出有限的端點，a>1 使密度在 0 處消失。相對於 b 較大的 a 將平均數向 1 移動。

形狀參數 b

第二個正形狀參數（b>0）。它以鏡像方式控制密度在 x=1 附近的行為，類似 a 控制 0 附近的行為。相對於 a 較大的 b 將平均數向 0 移動。

機率密度函數 f(x)

給定隨機變數取值 x 的相對可能性，由 f(x)=\dfrac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)} 給出，其中 0≤ x≤ 1，在其他處為 0。f(x) 在 [0,1] 上的面積等於 1。

下累積機率 P(x) / 累積分佈函數

累積分佈函數，P(x)=\Pr(X≤ x)=\displaystyle\int_0^x f(t) dt。它等於正規化不完全貝塔函數 I_x(a,b)，從 x=0 時的 0 單調遞增到 x=1 時的 1。

上累積機率 Q(x) / 生存函數

互補（尾部）機率，Q(x)=\Pr(X> x)=1-P(x)。它從 x=0 時的 1 遞減到 x=1 時的 0。

貝塔函數 B(a,b)

分佈的正規化常數，B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1} dt=\dfrac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}。它是對稱的：B(a,b)=B(b,a)。

伽馬函數 \Gamma(z)

階乘的連續擴展，由 \Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t} dt 定義，其中正整數 n 時 \Gamma(n)=(n-1)!，以及遞推關係 \Gamma(z+1)=z \Gamma(z)。

正規化不完全貝塔函數 I_x(a,b)

比率 I_x(a,b)=\dfrac{1}{B(a,b)}\displaystyle\int_0^x t^{a-1}(1-t)^{b-1} dt，其範圍從 0 到 1，正好是貝塔分佈的累積分佈函數，因此 P(x)=I_x(a,b)。