📐 Beta Function 計算機

Beta 函數又稱「第一類歐拉積分」，是一個帶有兩個參數的特殊函數，記作 B(a, b)。它廣泛出現在機率（Beta 分布）、統計學、組合數學，以及定積分的求值之中。本計算器可算出任意兩個實數 a 與 b 對應的 B(a, b) 數值，即使是負數參數也適用——透過 gamma 比值的延拓形式，函數在這些情況下依然有定義。

輸入第一個參數 a 與第二個參數 b。兩者都是純量、無單位的數值，因此不需要填寫任何單位。接著選擇要顯示的有效位數（最多約 15 位，這是雙精度浮點數所能解析的極限），即可從上方結果框讀取 B(a, b) 的值。由於此函數具有對稱性，交換 a 與 b 會得到完全相同的答案。

當 Re(a) > 0 且 Re(b) > 0 時，積分定義為 B(a, b) = ∫₀¹ t^(a−1)(1−t)^(b−1) dt。實際計算時，我們改用等價的封閉形式 B(a, b) = Γ(a)Γ(b) / Γ(a+b)。為了避免參數過大時發生溢位，計算器以對數方式運算：先求 lnB = lnGamma(a) + lnGamma(b) − lnGamma(a+b)，再取指數並套用正確的正負號。其中的 gamma 值來自 Lanczos 近似（g = 7），並以反射公式 Γ(x)Γ(1−x) = π/sin(πx) 處理小於 0.5 的參數。

以 a = 1.5、b = 0.2 為例：Γ(1.5) = √π/2 ≈ 0.886227、Γ(0.2) ≈ 4.590844、Γ(1.7) ≈ 0.908639。於是 B(1.5, 0.2) = (0.886227 × 4.590844) / 0.908639 ≈ 4.47748。再做一個簡單的驗算：B(2, 3) = Γ(2)Γ(3)/Γ(5) = (1·2)/24 = 1/12 ≈ 0.083333。

Beta函數 B(a,b)

歐拉Beta函數，定義為積分 B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1} dt（其中 a,b>0），以及等價地由伽瑪比 B(a,b)=\Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b) 定義。它具有對稱性：B(a,b)=B(b,a)。

伽瑪函數 \Gamma(x)

階乘的連續擴展，\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t} dt（其中 x>0），滿足正整數的 \Gamma(n)=(n-1)! 和 \Gamma(x+1)=x \Gamma(x)。

參數 a 和 b

Beta函數的兩個實參數。積分定義在 a>0 和 b>0 時收斂；伽瑪比形式將 B 擴展到其他實數值，除了伽瑪因子有極點的地方。

對數伽瑪 \ln\Gamma(x)

伽瑪函數的自然對數。計算 B 為 \exp[\ln\Gamma(a)+\ln\Gamma(b)-\ln\Gamma(a+b)] 避免了 \Gamma 本身產生的非常大的中間值，保持結果的數值穩定性。

Lanczos近似

一種廣泛使用的 \Gamma(x)（和 \ln\Gamma(x)）的級數近似，用少量固定的係數實現高精度，通常用於Beta和伽瑪計算器內部。

反射公式

恆等式 \Gamma(x) \Gamma(1-x)=\dfrac{π}{\sin(π x)}，用於評估負數或小參數的伽瑪函數，其中直接級數不適用。

極點/發散

伽瑪函數在 x=0,-1,-2,\dots 處有極點，在這些點發散。因此，當 a 或 b 是非正整數時，B(a,b) 發散（除非被分母抵消），所以這樣的輸入沒有有限值。

與Beta分佈的關係

Beta函數是Beta分佈的歸一化常數：其概率密度為 f(x)=\dfrac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}（在 [0,1] 上）。相同的 a 和 b 參數出現在 Beta分佈平均值和方差中。