📐 Bivariate Standard Normal Distribution 計算機

本工具用來計算標準二元常態分配，也就是一個二維高斯分配：兩軸的平均數皆為 0、變異數皆為 1，並且只有一個可調參數——相關係數 ρ。給定一個點 (x, y)，計算器會回傳兩個數值：該點的聯合機率密度 f(x, y, \rho)，以及上尾（象限）累積機率 Q(x, y, \rho) = P(U_1 > x 且 U_2 > y)。由於所有輸入都已經是標準化、無單位的分數，這個計算器具有通用性，完全不需要做單位換算。

輸入分位點 x、分位點 y，以及相關係數 ρ。這裡所說的「分位點」指的是類似 z 值的標準化門檻（也就是一個座標值），而不是介於 0 到 1 之間的百分位。相關係數必須滿足 -1 < \rho < 1；± 1 這兩個值會被拒絕，因為此時密度會發散（√(1-\rho^2) 會出現除以零的情況）。

密度函數即上方所列的封閉形式高斯公式：

象限機率則採用 Sheppard 恆等式：當 \rho = 0 時，兩變數彼此獨立，此時 Q = Q_1(x)· Q_1(y)，其中 Q_1(t) 是單變量標準常態的上尾函數。當 \rho 不為零時，則需加上一個從 0 到 \rho 的修正積分，本計算器以 24 節點的 Gauss–Legendre 高斯求積法進行運算，以確保精度。

以 x = 2、y = 0.7、\rho = 0.8 為例：1 - \rho^2 = 0.36，開根號後 = 0.6，前置係數 = 1/(2π· 0.6) = 0.265258。指數分子 = 4 - 2· 0.8· 2· 0.7 + 0.49 = 2.25，除以 0.72 得 3.125。因此 f = 0.265258 · e^{-3.125} ≈ 0.011655。上尾機率 Q ≈ 0.0212——比獨立情況下的 0.0055 還高，因為正相關會讓兩個變數一起往上移動。

象限概率 Q(x,y;\rho)=P(U_1>x, U_2>y) 衡量兩個標準常態隨機變數同時超過其臨界值的機率。固定切點於 x=1 和 y=1，掃過相關性 \rho 可以隔離依賴性的純粹效應。當 \rho=0 時，變數是獨立的，Q 分解為兩個單變量上尾的乘積，Q_1(x) Q_1(y)。對於標準常態，Q_1(1)=P(U>1)≈ 0.158655，因此獨立基準線是 0.158655^2≈ 0.025172。

模式是單調的：正相關使聯合超越更可能發生（大值傾向於同時出現），因此 Q 上升到超過獨立值；負相關將兩個變數拉向相反方向，因此聯合超越變得更加罕見，Q 下降到 Q_1 Q_1 以下。在 \rho=0 時，象限概率恰好等於乘積 0.0252，確認了獨立性分解。

密度 f 不是概率。f(x,y;\rho) 的值是每單位面積在 (x,y) 平面中的概率密度；只有對某一區域的積分才能返回概率。曲面在原點 (0,0) 處達到最大值，其中指數項等於 1，並且

對於 \rho=0，此峰值為 1/(2π)≈ 0.159，遠小於 1。當 \rho\to± 1 時，因子 1/√(1-\rho^2) 發散，因此峰值密度可以超過 1——這對密度來說是正常的，因為它將概率質量集中在直線 y=\rho x 上。

象限概率 Q 是真正的概率，始終位於 [0,1] 內。它是密度曲面在象限 {U_1>x, U_2>y} 上方的體積。有用的結構性事實：

• 獨立性（\rho=0）：Q(x,y;0)=Q_1(x) Q_1(y)，兩個單變量上尾的乘積。
• 參數對稱性：通過交換兩個坐標的角色，Q(x,y;\rho)=Q(y,x;\rho)。
• 反射恆等式：Q(-x,-y;\rho)=Q(x,y;\rho)+ \Phi(-x)+\Phi(-y)-1（也可以通過雙變量累積分布函數表示），並且反轉一個參數的符號會翻轉有效相關性：P(U_1>x, U_2 -\rho。<="" li="" 使用="">
• 極限行為 \rho\to 1^{-}：變數變得完全同調，U_2≈ U_1，因此 Q(x,y;\rho)\to Q_1(\max(x,y))——兩個超越同時發生。
• 極限行為 \rho\to -1^{+}：變數變得完全反調，U_2≈ -U_1。聯合上超越只有在兩個臨界值都能同時突破時才可能，給出 Q\to\max\!\big(0, 1-\Phi(x)-\Phi(y)\big)，當 x+y≥ 0 時為 0。

由於 Q 沒有一般 \rho 的閉形式，它通過數值方法計算——通常通過 Owen 的 T 函數或使用高斯-勒讓德正交法的關於 \rho 的一維積分，兩者都能將比較表中顯示的值重現到高精度。

標準化分數（x、y）

一個類似 z 的坐標，衡量一個值距其均值多少個標準差。輸入 x 和 y 已經標準化，因此每個邊際上都遵循標準常態分布 N(0,1)。

相關係數 \rho

兩個標準常態隨機變數之間的線性（皮爾遜）相關，其中 -1<\rho<1。它是控制兩個坐標如何強烈一起移動的單一參數；\rho=0 表示此處獨立，而 \rho\to±1 表示近似確定性線性關係。觀察到的 \rho 可以通過皮爾遜相關計算器從配對數據估計。

聯合密度 f(x,y;\rho)

標準雙變量常態概率密度，\varphi(x,y;\rho)=\dfrac{1}{2π√(1-\rho^2)}\exp\!≤ft(-\dfrac{x^2-2\rho xy+y^2}{2(1-\rho^2)}\right)。它描述每單位面積的概率，而不是概率本身。

象限概率 Q(x,y;\rho)

上尾聯合概率 P(U_1>x, U_2>y)——密度曲面在由兩個臨界值定義的右上象限上方的體積。始終在 0 和 1 之間。

單變量上尾 Q_1(t)

標準常態生存函數 Q_1(t)=P(U>t)=1-\Phi(t)，超過 t 的右尾面積。例如 Q_1(1)≈ 0.1587。在 \rho=0 時，Q=Q_1(x)Q_1(y)。

補誤差函數（erfc）

與常態尾相關的特殊函數，由 Q_1(t)=\tfrac{1}{2}erfc\!≤ft(t/√(2)\right) 給出。它提供了一種在數值上穩定的方式來計算用於 Q 的單變量尾概率。

高斯-勒讓德正交法

一種數值積分方案，通過在最優選擇的節點處的被積函數的加權和來近似定積分。由於 Q(x,y;\rho) 沒有基本閉形式，它通常通過對密度（或 \rho 的函數）用此方法積分來計算，以獲得準確結果。