什麼是波耳模型計算機？
波耳模型由尼爾斯·波耳（Niels Bohr）於 1913 年提出，把類氫原子描述成一個帶正電的小原子核，外圍有電子在固定且量子化的圓形軌道上運行。這個計算機能算出任何類氫（單電子）原子或離子的電子軌道半徑與能階。它適用於氫原子（Z = 1），也適用於像 He⁺（Z = 2）、Li²⁺（Z = 3）這類離子。
如何使用
請輸入兩個整數：主量子數 n（1、2、3……），用來標示電子所在的軌道；以及原子序 Z（原子核中的質子數）。計算機會回傳以奈米（nm）和皮米（pm）表示的軌道半徑、該能階的能量（以電子伏特 eV 為單位），以及電子的軌道速度。
公式解析
軌道半徑為
r_n = ((n^{2} · a_0) ÷ (Z)) \qquad (a_0 ≈ 0.0529\ nm)
其中 a_0 ≈ 0.0529\ nm 是波耳半徑——也就是氫原子基態的半徑。軌道半徑隨 n 的平方增大，並隨核電荷 Z 增加而縮小。能階則為 E_n = -13.6 · ((Z^{2}) ÷ (n^{2}))\ eV
能量之所以為負值，是因為電子處於束縛狀態；其中 13.6 eV 正是氫原子基態的游離能。
範例計算
以氫原子（Z = 1）位於第二軌道（n = 2）為例：
r_2 = ((2^{2} × 0.0529) ÷ (1)) = 0.2117\ nm
E_2 = -13.6 × ((1) ÷ (4)) = -3.4\ eV
相較於基態（−13.6 eV），此時電子距離原子核更遠，束縛也更鬆。
常数和參考值
玻爾模型使用一組小的基本常數。軌道半徑按玻爾半徑 a_0 縮放，而能級按里德伯能縮放。下面的值是現代 CODATA 推薦的數據。
| 物理量 | 符號 | 值 (SI) |
|---|---|---|
| 玻爾半徑 | a_0 | 0.05292 nm = 52.92 pm = 5.292 × 10⁻¹¹ m |
| 里德伯能（基態） | E_1 (H) | 13.606 eV = 2.180 × 10⁻¹⁸ J |
| 電子靜止質量 | m_e | 9.109 × 10⁻³¹ kg |
| 基本電荷 | e | 1.602 × 10⁻¹⁹ C |
| 庫侖常數 | k = ((1) ÷ (4π\varepsilon_0)) | 8.988 × 10⁹ N·m²·C⁻² |
| 約化普朗克常數 | \hbar | 1.055 × 10⁻³⁴ J·s |
| 基態軌道速度（H） | v_1 | 2.188 × 10⁶ m/s |
| 精細結構常數 | \alpha = v_1/c | 7.297 × 10⁻³ ≈ 1/137（無量綱） |
氫的基態的軌道速度等於 \alpha c，其中 c 是光速。這就是為什麼 \alpha 也叫做精細結構常數——它決定了電子相對於光的運動尺度。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
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📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
這適用於多電子原子嗎？
波耳模型只有在單電子系統（如 H、He⁺、Li²⁺ 等）中才完全準確。對於其他原子，它只能提供近似結果。
為什麼能量是負的？
束縛狀態的電子，其能量比一個靜止於無限遠處的自由電子（定義為 0）還要低，因此束縛態的能量為負值。
什麼是波耳半徑？
\(a_0 \approx 0.0529\ \text{nm}\)（52.9 pm），是基態氫原子中質子與電子之間最可能出現的距離。