📐 Buckling Load 計算機

尤拉挫屈載重，又稱臨界載重（P_{cr}），是指細長柱在因挫屈而突然側向彎曲破壞之前，所能承受的最大軸向壓力。它以數學家尤拉（Leonhard Euler）命名，是結構工程與機械工程中最基礎的公式之一。本計算機適用於任何一致的單位系統；本文範例採用國際單位制（SI），即帕斯卡、公尺與牛頓。

請輸入柱的彈性模數 E（結構鋼約 200 GPa＝2×10^{11} Pa）、繞弱軸的斷面慣性矩 I、無支撐柱長 L，並選擇端部條件係數 K。計算結果會同時以牛頓與千牛頓顯示臨界載重，並附上有效長度 KL。

核心方程式為

其中 EI 為柱的撓曲剛度——斷面愈剛或愈粗壯，抗挫屈能力愈強。分母 (KL)^2 說明挫屈載重會隨長度急遽下降：柱長加倍，承載能力只剩四分之一。係數 K 反映端部的束制方式：兩端鉸接 K=1.0、兩端固定 K=0.5、一端固定一端鉸接 K≈0.699，一端固定一端自由（懸臂）K=2.0。

一根兩端鉸接的鋼柱，E＝200 GPa、I=1×10^{-7}\ m^4、L＝3 m（K=1）。有效長度 KL＝3 m。

有效長度係數 K 說明柱子的端部如何受到約束。尤拉臨界載荷使用有效長度 KL。理論值假設理想約束，而建議的設計值（根據 AISC 指南）更高，以反映實際連接永遠不會完全固定這一事實。

端部條件	理論 K	建議設計 K	備註
鉸支–鉸支	1.0	1.0	兩端都可自由旋轉；基準參考情況。
固定–固定	0.5	0.65	兩端都受旋轉約束；設計值因非理想固定而提高。
固定–鉸支	0.7	0.8	一端固定，一端鉸支（通常列為 0.699）。
固定–自由（懸臂）	2.0	2.1	一端完全固定，另一端可自由平移和旋轉；最弱情況。

建議值反映 AISC 推薦的真實世界端部固定情況，因為在實踐中很少發生真正的數學固定或完美的鉸支。使用較高（保守）的值會增加有效長度 KL，因此降低預測的臨界載荷。

彈性模量（楊氏模量）描述材料的彈性剛度。較高的 E 直接增加尤拉屈曲載荷。下面的值是典型值；實際值隨合金、等級、含水量和混合設計而變化。

材料	E (GPa)	E (Pa)
結構鋼	~200	2.0 × 1011
鑄鐵	~120	1.2 × 1011
鈦	~110	1.1 × 1011
鋁	~69	6.9 × 1010
混凝土	~30	3.0 × 1010
木材（軟木）	~10–12	1.0–1.2 × 1010

為了獲得一致的 SI 結果，請以帕斯卡 (Pa) 輸入 E，以 m⁴ 輸入 I，這樣臨界載荷就以牛頓 (N) 為單位。

尤拉臨界載荷 P_{cr} 是完全直的、彈性的、集中加載柱子變得不穩定並向側面屈曲時的理論軸向力。它標誌著彈性屈曲的開始——而不是安全工作載荷。

1. 應用安全係數。實際柱子具有初始彎曲、載荷偏心和殘留應力。容許設計載荷是 P_{cr} 除以安全係數（通常為 1.5–3，取決於代碼和應用），因此永遠不要將柱子加載到其計算的 P_{cr}。
2. 檢查細長比。尤拉公式僅對細長柱子有效——那些細長比 KL/r 超過臨界值的柱子，其中屈曲應力保持在比例極限以下。低於此值時，非彈性（Johnson 拋物線）屈曲主導，尤拉會高估容量。
3. 注意粗短柱的屈服。對於短的、厚的（細長比低）柱子，材料在屈曲發生之前在壓縮中達到其屈服應力。在該情況下，壓碎/屈服主導，壓潰載荷 P = \sigma_y A 是限制值，而不是 P_{cr}。

簡而言之：計算 P_{cr}，確認柱子足夠細長以使尤拉公式適用，然後除以適當的安全係數以獲得容許載荷。這是一般工程信息，不是合格工程師進行代碼合規設計的替代品。