什麼是懸鏈線？
懸鏈線（catenary）是一條柔軟的鏈條或纜繩，只在兩端被固定、其餘部分僅靠自身重量自然下垂時所形成的曲線。它乍看之下很像拋物線，但真正描述這條曲線的，其實是雙曲餘弦函數 y = a · \cosh\!≤ft(((x) ÷ (a))\right)。常數 a 決定曲線的「深淺」：a 越大，曲線越平緩、越繃緊；a 越小，下垂幅度就越深。
計算器使用說明
請輸入懸鏈線常數 a，以及從最低點（頂點）量起的水平位置 x。計算器會回傳曲線高度 y、相對頂點的垂度（y - a），以及該點的斜率（((dy) ÷ (dx))）。頂點位於 x = 0 處，此時 y = a，斜率為 0。
公式解析
高度為
y = a · \cosh\!≤ft(((x) ÷ (a))\right)
其中 cosh 為雙曲餘弦函數。對其微分一次即得斜率 ((dy) ÷ (dx)) = \sinh\!≤ft(((x) ÷ (a))\right)
在頂點處（x = 0），\cosh(0) = 1，因此 y = a；\sinh(0) = 0，因此切線呈水平。相對最低點的垂度，就只是 y - a。
範例演算
假設 a = 10、x = 5，則 ((x) ÷ (a)) = 0.5。\cosh(0.5) ≈ 1.12763，所以
y = 10 × 1.12763 ≈ 11.2763
垂度為 y - a ≈ 1.2763，斜率則為 \sinh(0.5) ≈ 0.52110。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
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常見問題 (FAQ)
懸鏈線和拋物線一樣嗎？
不一樣。兩者在最低點附近看起來很像，但自然下垂的鏈條遵循的是 cosh 函數；而拋物線（\( y = kx^2 \)）描述的是沿水平方向均勻分布的荷載，例如吊橋的橋面。
常數 a 代表什麼？
它等於水平張力除以纜繩單位長度的重量，同時也是頂點相對於準線（directrix）的高度。
為什麼 a 不能為零？
由於公式中需要將 x 除以 a，因此 \( a = 0 \) 時無定義；遇到這種情況，計算器會回傳零。