什麼是柯西分布？
柯西分布（又稱勞侖茲分布或柯西－勞侖茲分布）是一種連續型機率分布，由兩個參數決定：位置參數 x_0，也就是曲線的峰值與中位數所在；以及正值的尺度參數 \gamma，即半高寬的一半。它最著名的特徵就是「厚尾」：與常態分布不同，柯西分布並沒有定義出來的平均數與變異數。標準（典型）柯西分布取 x_0 = 0、\gamma = 1，此時它與自由度為 1 的學生 t 分布完全相同。這是一個純數學的計算工具，在世界各地的運算結果都完全一致。
如何使用本計算機
請輸入想要評估分布的百分位點 x、位置參數 x_0，以及尺度參數 \gamma（必須大於零）。計算機會回傳機率密度 f(x)、下累積機率 P(X ≤ x)，以及上累積機率 P(X > x)。若要計算標準柯西分布，請將 x_0 設為 0、\gamma 設為 1。
公式解析
首先定義標準化值 z = (x - x_0) / \gamma。機率密度為
f(x) = ((1) ÷ (π · \gamma · (1 + z^2)))
也可改寫為 f(x) = ((\gamma) ÷ (π≤ft[≤ft(x - x_0\right)^2 + \gamma^2\right]))
累積分布函數為 F(x) = ((1) ÷ (2)) + ((1) ÷ (π))\arctan(z)
即下累積機率；上累積機率則只要計算 1 - F(x) 即可。由於 \arctan 的值域落在 (-π/2, π/2)，因此累積機率必定嚴格介於 0 與 1 之間。
實例演算
假設 x = 1、x_0 = 0、\gamma = 1，則 z = 1。機率密度為
f(x) = ((1) ÷ (π · 2)) = 0.159155
由於 \arctan(1) = 0.785398，下累積機率為 ((1) ÷ (2)) + ((1) ÷ (π)) · 0.785398 = 0.75
上累積機率則為 0.25。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼不顯示平均數與變異數？
柯西分布的尾部極厚，導致其平均數與變異數在數學上根本無從定義，因此就算列出來也毫無意義。
峰值長什麼樣子？
在 \(x = x_0\) 處，機率密度達到最大值 \(\frac{1}{\pi \cdot \gamma}\)，而上、下累積機率此時皆為 \(0.5\)。
如果 \(\gamma\) 等於零或為負值會怎樣？
尺度參數必須嚴格為正值；若 \(\gamma\) 為零或負數，分布將無法定義，因此會被拒絕。