這個計算器的功能
本工具用來計算柯西分布（又稱勞侖茲分布，Lorentz distribution）的百分位數（也稱為分位數或百分點）。只要輸入一個累積機率，以及該分布的兩個參數——位置參數 x0（即中位數與峰值所在位置）與尺度參數 \gamma（gamma，半高半寬）——計算器就會傳回達到該機率時對應的數值 x。這純粹是數學運算，在任何地方的結果都完全一致。
使用方式
首先選擇累積模式。若你的機率 P 是左尾機率，亦即 P = Prob(X ≤ x)，請選擇 Lower（下側）；若你的機率 Q 是右尾機率，亦即 Q = Prob(X ≥ x)，則選擇 Upper（上側）。接著輸入介於 0 與 1 之間（不含端點）的機率，例如要求第 95 百分位數就填 0.95；再填入位置參數 x0 與尺度參數 \gamma（必須為正數）。計算器便會傳回對應的 x。
公式說明
柯西分布的累積分布函數為
F(x) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{π}·\arctan\!≤ft(((x - x_0) ÷ (\gamma))\right).
將它反解後，可得到分位數函數 x = x_0 + \gamma·\tan\!≤ft(π≤ft(P - \tfrac{1}{2}\right)\right),
其中 P 為下側累積機率。若你輸入的是上側機率 Q，工具會先以 P = 1 - Q 進行轉換。當 P = 0.5 時，結果恰為 x0；而當 P 趨近 0 或 1 時，結果會分別發散到負無窮或正無窮，這正反映了柯西分布著名的厚尾特性（它沒有有限的平均值與變異數）。
範例演算
以 x_0 = 0、\gamma = 1 求下側第 95 百分位數：P = 0.95，因此
x = 0 + 1·\tan(π· 0.45) = \tan(1.41372 弧度) ≈ 6.31375.
驗算：F(6.31375) = 0.5 + \tfrac{1}{π}·\arctan(6.31375) = 0.5 + 0.45 = 0.95。再以 x_0 = 2、\gamma = 3、P = 0.75 為例：x = 2 + 3·\tan(π· 0.25) = 2 + 3· 1 = 5.0.
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
下側模式與上側模式有什麼差別？
兩者互為補數：上側機率 0.05 所得到的 x，與下側機率 0.95 所得到的 x 完全相同。
為什麼機率必須嚴格介於 0 與 1 之間？
因為當機率恰為 0 或 1 時，分位數會是正無窮或負無窮，並沒有有限的數值。
尺度參數可以是負數嗎？
不行。尺度參數 \(\gamma\) 必須大於 0；它代表的是半寬，負值在數學上沒有定義。