什麼是柴比雪夫定理？
柴比雪夫定理（又稱柴比雪夫不等式）能告訴你：在距離平均數一定個數標準差的範圍內，資料至少會佔多少比例——而且適用於任何分布，無論它有多偏斜、形狀多麼怪異。和只適用於鐘形（常態）分布的經驗法則不同，柴比雪夫定理給出的界限放諸四海皆準。
如何使用這個計算器
輸入 k，也就是你關心的「距離平均數幾個標準差」。計算器會回傳保證落在該範圍內的資料最少比例（以分數與百分比表示），以及可能落在範圍外的最大比例。請注意，k 必須大於 1 才能得到有意義的正值界限；當 k = 1 時，定理什麼都保證不了（0%）。
公式詳解
定理的內容如下：
P(|X - \mu| < k\sigma) ≥q 1 - ((1) ÷ (k^{2}))
其中 \mu 是平均數，\sigma 是標準差，k 是標準差的個數。1 - ((1) ÷ (k^{2})) 這個值，就是資料落在區間 (\mu - k\sigma, \mu + k\sigma) 內的保證最少比例；它的補數 ((1) ÷ (k^{2}))，則是可能落在區間外的最大比例。
實例演算
假設 k = 2，那麼
1 - ((1) ÷ (2^{2})) = 1 - ((1) ÷ (4)) = 0.75
也就是說，不論分布形狀如何，至少有 75% 的資料會落在平均數的 2 個標準差範圍內，最多只有 25% 落在範圍外。若 k = 3，界限則為 1 - ((1) ÷ (9)) ≈ 88.89%。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼 k 一定要大於 1？
當 \(k = 1\) 時，界限為 \(1 - \frac{1}{1} = 0\)，等於什麼都沒保證；而當 \(k < 1\) 時，界限會變成負數、毫無意義，因此計算器會直接顯示 0%。
它和經驗法則有什麼不同？
經驗法則（68-95-99.7 法則）只給出近似百分比，而且僅適用於常態分布。柴比雪夫定理則為所有分布提供一個保證的下界，因此它的百分比一定比較小（更保守）。
k 可以是小數嗎？
可以。\(k\) 可以是任何大於 1 的值，例如 1.5 或 2.5；公式 \(1 - \frac{1}{k^{2}}\) 同樣適用於非整數的 \(k\)。