什麼是卡方獨立性檢定？
卡方（χ²）獨立性檢定用來判斷兩個類別變數之間是否有關聯。以 2×2 列聯表來說，它會把你實際觀察到的次數，和「假設兩變數完全獨立」時應該出現的期望次數做比較。兩者差距越大，算出來的 χ² 值就越大，也代表這兩個變數越可能彼此相關。
計算器使用方式
請輸入 2×2 表格的四格次數：A 和 B 是第一列，C 和 D 是第二列。計算器會自動加總各列總和、各欄總和與整體總數，算出每一格的期望次數，再把標準化後的平方差加總起來得到 χ²。同時它也會顯示自由度（2×2 表格永遠是 1）、近似 p 值、α = 0.05 時的臨界值，以及檢定結果是否達到統計顯著。
公式解析
每一格的期望次數為 E = \dfrac{(該列總和) × (該欄總和)}{整體總數}。檢定統計量則是把四格的數值代入
\chi^2 = \sum (((O - E)^2) ÷ (E))
後加總。在自由度為 1 的情況下，5% 顯著水準對應的臨界值是 3.841。只要你的 χ² 超過 3.841，就可以拒絕「兩變數互相獨立」的虛無假設。
實際範例
假設 A = 10、B = 20、C = 30、D = 40。各列總和為 30 與 70，各欄總和為 40 與 60，整體總數為 100。對應的期望次數分別是 12、18、28、42。於是
\chi^2 = (((10-12)^2) ÷ (12)) + (((20-18)^2) ÷ (18)) + (((30-28)^2) ÷ (28)) + (((40-42)^2) ÷ (42)) ≈ 0.3333 + 0.2222 + 0.1429 + 0.0952 ≈ 0.7937
由於 0.79 < 3.841，因此無法拒絕獨立的假設。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼這裡的自由度永遠是 1？
自由度 \(= (\text{列數} - 1) \times (\text{欄數} - 1) = (2-1) \times (2-1) = 1\)。
p 值很小代表什麼？
當 p 值低於 0.05，表示在「兩變數獨立」的前提下，觀察到這樣的關聯機率很低，因此兩個變數很可能確實相關。
這個 p 值是精確值嗎？
它採用自由度為 1 的卡方分配標準數值近似法，對一般決策已足夠準確；但在較極端的情況下，仍建議搭配完整的統計軟體，不宜完全取代。