這個計算器能做什麼
卡方分配（Chi-Squared Distribution）是統計學中應用最廣泛的分配之一，無論是適合度檢定、列聯表的獨立性檢定，還是變異數的信賴區間，背後都少不了它。本工具只要輸入一個分位點 x 與自由度 ν，就能回傳三個高精度數值：機率密度 f(x)、下側累積機率 P(X ≤ x)，以及上側（尾端）機率 Q(X > x)。
使用方式
請在 x 欄位輸入一個非負數值，並在自由度 ν 欄位輸入一個正數（通常是正整數，但即使是非整數的 ν，公式同樣適用）。按下計算後，PDF 會告訴你恰好在 x 這一點的相對可能性；下側機率代表左側面積，也就是單側下尾檢定 p 值的補數；上側機率則是右尾面積，正是大多數卡方顯著性檢定所報告的 p 值。
公式解析
當 x > 0 時，密度函數為
其中 \Gamma 為 Gamma 函數。累積機率則等於正規化下不完全 Gamma 函數 P\!≤ft(((k) ÷ (2)), ((x) ÷ (2))\right)。我們以數值方法計算：當 ((x) ÷ (2)) < ((k) ÷ (2)) + 1 時採用級數展開，其餘情況則使用連分數展開（Lentz 法）；而 Gamma 函數則透過 Lanczos log-gamma 近似計算，以確保數值穩定。
實際範例
以 x = 2、\nu = 3 為例，令 a = ((k) ÷ (2)) = 1.5、z = ((x) ÷ (2)) = 1。密度為
下側機率
因此上尾機率
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。