什麼是卡方分布？
卡方分布（chi^2 distribution）描述的是多個獨立標準常態變數平方後的總和。它只由單一參數決定，也就是自由度 \nu（希臘字母「nu」）。在統計上，卡方分布是假設檢定、適配度檢定（goodness-of-fit）、列聯表分析，以及變異數信賴區間的核心工具。本計算器會針對你選定的 \nu，在指定的 x 上算出三個彼此相關的函數值：機率密度 f、下累積機率 P(X ≤ x)，以及上累積機率 Q(X > x)。
如何使用
先選擇你想作為主要顯示值的函數，接著填入自由度 \nu（任何大於 0 的數值），以及要計算的點 x。「x 的起始值」、「增量」與「點數」三項則用來建立數列 x_k = startX + k·stepX，方便產生所選函數的表格或圖形。所有輸入皆為無因次數值，因此不需要做任何單位換算。
公式說明
當 x ≥ 0 時，機率密度為
f(x; \nu) = ((x^{ ((\nu) ÷ (2))-1} e^{-((x) ÷ (2))}) ÷ (2^{((\nu) ÷ (2))} \Gamma\!≤ft(((\nu) ÷ (2))\right)))
。累積機率則使用正則化不完全 Gamma 函數計算：F(x; \nu) = P\!≤ft(((\nu) ÷ (2)), ((x) ÷ (2))\right) = ((\gamma\!≤ft(((\nu) ÷ (2)), ((x) ÷ (2))\right)) ÷ (\Gamma\!≤ft(((\nu) ÷ (2))\right)))
即 P(x,\nu) 等於 (\nu/2, x/2) 的下不完全 Gamma 除以 \Gamma(\nu/2)，而 Q(x; \nu) = 1 - P\!≤ft(((\nu) ÷ (2)), ((x) ÷ (2))\right) = ((\Gamma\!≤ft(((\nu) ÷ (2)), ((x) ÷ (2))\right)) ÷ (\Gamma\!≤ft(((\nu) ÷ (2))\right)))
。本計算器全程在對數空間運算，並針對不完全 Gamma 函數採用級數展開或連分數法（Lentz 演算法），結果精確且能避免數值溢位。
實例演算
以 \nu = 3、x = 2 為例：a = \nu/2 = 1.5，z = x/2 = 1。下累積機率 P(2,3) 約為 0.42759，因此 Q 約為 0.57241。機率密度則為
f(2,3) = ((2^{0.5} · e^{-1}) ÷ (2^{1.5} · \Gamma(1.5))) ≈ 0.20755
。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼在 \(\nu\) 較小時，\(x = 0\) 處的 \(f\) 會是無限大？
當 \(\nu < 2\) 時，密度在 \(x = 0\) 處會發散至無限大；當 \(\nu = 2\) 時等於 \(0.5\)；當 \(\nu > 2\) 時則為 \(0\)。
如何找出臨界值？
把函數設定為下累積機率 \(P\)，然後嘗試不同的 \(x\)，直到 \(P\) 達到你的目標為止（例如 \(\nu = 1\) 時要讓 \(P = 0.95\)，\(x\) 約為 \(3.8415\)）。
累積機率精確嗎？
是的，本計算器使用封閉形式的不完全 Gamma 函數，而非數值積分，因此結果可達到機器精度。