什麼是 Cholesky 分解計算器？
這款計算器可將一個對稱正定矩陣 A 分解為 A = L · L^{\mathsf{T}} 的乘積形式，其中 L 為下三角矩陣，L^{\mathsf{T}} 則是它的轉置矩陣。相較於 LU 分解，Cholesky 分解的運算效率約高出一倍，因此被廣泛運用在數值線性代數、蒙地卡羅模擬、求解線性方程組以及最小平方法等領域。除了分解結果之外，本工具也會一併計算出矩陣的行列式，方便您直接取用。
使用方法
本計算器只有一個輸入欄位：輸入矩陣。請以逗號分隔同一列中的各個數值，並使用直線符號 | 來換到下一列。
- 2×2 範例：
4,12|12,37 - 3×3 範例：
4,12,-16|12,37,-43|-16,-43,98
計算器會先檢查您輸入的矩陣是否為對稱矩陣（每個非對角元素 A_{ij} 都必須等於 A_{ji}，誤差容許值為 1e-10）。若矩陣同時符合對稱且正定的條件，工具便會計算並顯示下三角矩陣 L 與行列式；反之，若矩陣不對稱或不是正定矩陣，則無法進行 Cholesky 分解。
公式解析
針對 L 中的每個元素，演算法的計算方式如下：
- 對角元素：L_{jj} = \sqrt{A_{jj} - \sum L_{jk}^{2}}，其中 k < j
- 對角線下方元素：L_{ij} = \dfrac{A_{ij} - \sum L_{ik} L_{jk}}{L_{jj}}，其中 i > j
行列式等於 L 對角元素平方的乘積。
實際範例演算
以 3×3 矩陣 4,12,-16|12,37,-43|-16,-43,98 為例，依照公式逐步計算：
- L_{11} = √(4) = 2
- L_{21} = 12 / 2 = 6，L_{22} = √(37 - 36) = 1
- L_{31} = -16 / 2 = -8，L_{32} = (-43 - (-8)(6)) / 1 = 5，L_{33} = √(98 - 64 - 25) = 3
因此 L = [[2,0,0],[6,1,0],[-8,5,3]]，行列式 = (2 · 1 · 3)^{2} = 36。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。