什麼是外心？
三角形的外心是唯一一個到三個頂點距離都相等的點，也就是外接圓（通過三個頂點的圓）的圓心。從幾何角度來看，外心正好落在三角形三條邊的垂直平分線交會處。本計算器可直接由三個頂點的座標求出外心，並一併算出外接圓半徑。
如何使用本計算器
請輸入三角形三個頂點的 (x, y) 座標：(x₁, y₁)、(x₂, y₂) 與 (x₃, y₃)。工具會回傳外心座標 (Ux, Uy)，以及外接圓半徑（即外心到任一頂點的距離）。若三點剛好落在同一條直線上，便不存在有限的外心，計算器會提示這三點共線。
公式詳解
首先計算
D = 2≤ft[x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\right].
這個值等於有號面積行列式的兩倍；若 D = 0，代表三點共線。接著利用各頂點到原點距離的平方 s_i = x_i^2 + y_i^2，外心座標為 U_x = ((s_1(y_2-y_3) + s_2(y_3-y_1) + s_3(y_1-y_2)) ÷ (D)), \qquad U_y = ((s_1(x_3-x_2) + s_2(x_1-x_3) + s_3(x_2-x_1)) ÷ (D)).
外接圓半徑 R 則是 (U_x, U_y) 到任一頂點的歐幾里得距離。
實際範例
以頂點為 (0, 0)、(4, 0) 與 (0, 3) 的直角三角形為例。先算
D = 2[0·(0-3) + 4·(3-0) + 0·(0-0)] = 2· 12 = 24.
其中 s_1 = 0、s_2 = 16、s_3 = 9：U_x = ((0 + 16· 3 + 9· 0) ÷ (24)) = ((48) ÷ (24)) = 2, \qquad U_y = ((0 + 16· 0 + 9·(-4)) ÷ (24)) = ((-36) ÷ (24)) = 1.5.
外接圓半徑為 √(2^2 + 1.5^2) = √(6.25) = 2.5，正好是斜邊的一半——這正是直角三角形應有的結果。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
外心會落在三角形外面嗎？
會的。鈍角三角形的外心位於三角形外側；直角三角形的外心落在斜邊的中點；銳角三角形的外心則在三角形內部。
如果我的三點共線怎麼辦？
三個共線的點無法落在同一個有限的圓上，因此外心沒有定義，計算器會特別標示這種情況。
輸入頂點的順序會影響結果嗎？
不會。無論你以什麼順序輸入這三點，計算結果都相同。