📐 Combinations 計算機

下表給出 C(n, r) 對於 n 的小值（從 1 到 10）和 r 的每一個有效選擇（從 0 到 n）。這是著名的 帕斯卡三角形：每個內部值等於其上方對角線上兩個值的和，每一行都是對稱的，因為 C(n, r) = C(n, n-r)。在行 n 與列 r 相交處讀取該值。

注意 C(n, 0) = C(n, n) = 1（恰好有一種方式選擇任何東西都不選，以及一種方式選擇全部）並且 C(n, 1) = n（有 n 種方式來選擇單一項目）。

每個例子直接將值代入組合公式 C(n, r) = \dfrac{n!}{r! (n-r)!}，其中順序無關緊要。

1. 撲克牌手牌—52 選 5。 標準牌組有 52 張牌，一手撲克牌是 5 張牌不顧順序地抽出：

   C(52, 5) = ((52!) ÷ (5! (52-5)!)) = ((52 × 51 × 50 × 49 × 48) ÷ (5 × 4 × 3 × 2 × 1)) = ((311,875,200) ÷ (120))

   得出 2,598,960 種不同的五張牌手牌。

2. 選擇全部—6 選 6。 當你必須選擇每一項時，只有一個可能的組合：

   C(6, 6) = ((6!) ÷ (6! (6-6)!)) = ((6!) ÷ (6! × 0!)) = ((720) ÷ (720 × 1)) = 1

   這使用 0! = 1 的約定。所以 C(6, 6) = 1。

3. 選擇無—8 選 0。 恰好有一種方式從一個集合中選擇任何東西都不選（空的選擇）：

   C(8, 0) = ((8!) ÷ (0! (8-0)!)) = ((8!) ÷ (1 × 8!)) = 1

   因此 C(8, 0) = 1。

4. 一個委員會—10 選 3。 從 10 名候選人中選擇一個 3 人委員會（位置不分）：

   C(10, 3) = ((10!) ÷ (3! (10-3)!)) = ((10 × 9 × 8) ÷ (3 × 2 × 1)) = ((720) ÷ (6))

   得出 120 種可能的委員會。如果角色 是 不同的（主席、秘書、財務官），順序會重要且你會改而計算排列 720。

組合

從較大集合中選擇項目，其中 選擇的順序無關緊要。從 n 中選擇 r 個項目的組合數寫作 C(n, r)、\binom{n}{r} 或「n 選 r」。

排列

項目的 有序 排列。因為順序重要，排列總是至少與組合一樣多：P(n, r) = C(n, r) × r!。例如，\{A, B\} 和 \{B, A\} 算作一個組合但兩個排列。

n（集合大小）

可選擇的不同項目總數—整個集合的大小。在公式中它是 \binom{n}{r} 的上層數字。

r（樣本大小）

你從集合中選擇的項目數。它必須滿足 0 ≤ r ≤ n。在公式中它是 \binom{n}{r} 的下層數字。

階乘 (!)

直到某個數字的所有正整數的乘積：n! = n × (n-1) × ·s × 2 × 1。根據定義 0! = 1。階乘遍佈組合公式。例如，5! = 120。

「順序無關緊要」

組合的定義特性：包含相同項目的兩個選擇無論以何種順序選擇都被視為相同。這是為什麼 C(n, r) 將有序計數 P(n, r) 除以 r! 來移除重複的排列。

相同的组合公式 C(n,r)=\dfrac{n!}{r! (n-r)!} 能解决许多日常计数问题。因为在组合中顺序不重要，nCr 回答的是"可以形成多少个不同的组"而不是"有多少个有序序列"。下表列举了几个实际案例，每个都使用此计算器计算。

扑克牌情况的计算验证：C(52,5)=\dfrac{52!}{5! (52-5)!}=\dfrac{52·51·50·49·48}{5·4·3·2·1}=\dfrac{311,875,200}{120}=2,598,960. 如果顺序确实重要，你应该改用排列 P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}，这会给出一个更大的数字。