什麼是重複組合？
重複組合（英文常稱為「multichoose」）計算的是：當選取的順序不重要、且同一種類型可以重複選取時，從 n 種不同類型中挑出 r 個項目共有幾種方法。每一種結果都是一個「多重集合（multiset）」。舉例來說，從 3 種口味中挑 2 球冰淇淋並允許重複時，可能的組合包括 {香草、香草} 或 {香草、巧克力}。
如何使用本計算機
輸入 n（可供選取的不同物件或類型數量）與 r（你想抽取的樣本數量）。兩者都必須是非負整數。按下計算後，工具會回傳 C^R(n,r)，也就是大小為 r 的相異多重集合總數。
公式解析
其數量等於二項式係數 C(n + r - 1, r)，展開後為
C^R(n, r) = \binom{n + r - 1}{r} = (((n + r - 1)!) ÷ (r! (n - 1)!))
這正是經典的「隔板法（stars and bars）」結果：把 r 顆相同的星星分配到由 n - 1 條隔板分隔出的 n 個箱子中。為了避免階乘過大造成溢位，本計算機會讓累乘的乘積依序乘以 (n - 1 + i) 再除以 i，其中 i 從 1 跑到 r。 C^R(n,r) = \prod_{i=1}^{r} ((n - 1 + i) ÷ (i))
實際範例
當 n = 10、r = 3 時：
C^R(10,3) = C(12,3) = ((12 × 11 × 10) ÷ (3 × 2 × 1)) = ((1320) ÷ (6)) = 220
也就是說，從 10 種類型中允許重複地選取 3 個項目，共有 220 種方法。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
這跟一般的組合有什麼不同？
一般的組合 \(C(n,r)\) 不允許重複；重複組合則允許同一個項目被多次選取，因此計算出的數量通常會比較大。
如果 \(r = 0\) 呢？
「什麼都不選」恰好只有一種方式，因此對任何 \(n \geq 1\) 來說，\(C^R(n,0) = 1\)。
如果 \(n = 0\) 呢？
沒有任何項目且 \(r > 0\) 時，結果為 0；而空集合的情況 \(n = 0\)、\(r = 0\) 則依慣例定義為 1。