什麼是擺線？
擺線（cycloid）是指半徑為 r 的圓沿著一條直線「純滾動」（不打滑）時，圓周上某個固定點所描繪出的曲線。圓每滾動一整圈，就會畫出一道完整的拱形，連續滾動便形成一連串大小相同的拱。擺線最迷人的地方，在於它擁有漂亮又精確的封閉解：單一拱的弧長剛好是半徑的八倍，而一拱下方的面積，更剛好是滾動圓面積的三倍。
計算器使用說明
只要輸入滾動圓的半徑 r，計算器就會回傳一拱的弧長、一拱下方的面積、底寬（滾動一整圈的距離）以及拱高。此外，你也可以選擇性地輸入參數值 t（以弧度表示），透過參數方程算出該瞬間描繪點的精確座標。
公式詳解
擺線的參數方程為 x = r(t - \sin t) 與 y = r(1 - \cos t)。將速率對 t 由 0 積分到 2π，可得弧長
L = 8r.
一拱的底寬等於圓周長 2π r，最大高度則等於直徑 2r。再透過積分求得一拱下方的面積為 A = 3π r^{2}.
實例演算
以 r = 2 為例：弧長
L = 8 × 2 = 16.
面積 A = 3π × 2^{2} = 12π ≈ 37.699.
底寬 = 2π × 2 ≈ 12.566,
拱高 = 4。當 t = π 時，描繪點位於拱頂：x = 2(π - \sin π) = 2π ≈ 6.283,
y = 2(1 - \cos π) = 4.
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼弧長剛好是 \(8r\)？
因為將速率 \(\sqrt{2r^{2}(1-\cos t)}\) 在一個週期內積分後，結果會漂亮地化簡為 \(8r\)——這是數學史上有名的簡潔結果。
面積真的是圓面積的三倍嗎？
是的，\(A = 3\pi r^{2}\) 恰好是 \(\pi r^{2}\) 的三倍，這個結論最早由伽利略同時代的數學家所證明。
計算器使用什麼單位？
本計算器不限定單位；所有輸出都採用與 \(r\) 相同的長度單位（面積則為該單位的平方）。