📐 Divisor And Factor Finder 計算機

因數與約數查詢工具會列出所有能整除某個整數、且沒有餘數的正整數。這些數字就是我們常說的因數（約數）。對於任意數字 n，這個工具會回傳完整的因數集合、因數的個數、它們的總和，並判斷該數是質數還是合數。無論是約分、求最大公因數、判斷質數，或是探索數論，都非常好用。

在輸入框中填入任一正整數並送出，計算機便會掃描所有因數，回傳完整且由小到大排列的清單，以及各項統計摘要。即使是很大的數字也沒問題，因為程式只需檢查到 n 的平方根為止，再將每個較小的因數與其對應的因數配成一對即可。

當除法運算的餘數為零時，正整數 d 就是 n 的因數：

由於因數總是成對出現 (d,\ n/d)，我們只需要測試到 d 為 √(n) 為止。所有約數的總和可用 sigma（西格瑪）函數表示：

其中 n 是輸入的整數，而 d 則涵蓋每一個能整除它的數值。

以 n = 36 為例。測試到 √(36)=6 為止的每個候選數，可得到因數對 (1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6)，因此因數為 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 - 共九個。它們的總和為：

由於 36 的因數超過兩個，所以它是合數。

以下每個例子都會找出 n 的每一個因數 d（也就是每一個使 n \bmod d = 0 成立的 d），計算它們的數量，並將它們相加以求得 \sigma(n)，即因數總和。

例 1 — 一個質數：n = 17

測試從 1 到 √(17) ≈ 4.12 的每個整數，2、3、4 都無法整除 17，因此唯一的因數就是 1 和 17 本身。

• 因數：1, 17
• 數量：2
• 因數總和：\sigma(17) = 1 + 17 = 18
• 分類：恰好有 2 個因數，因此 17 是質數。

例 2 — 一個完全數：n = 28

28 的因數以相乘等於 28 的成對形式出現：1 × 28、2 × 14、4 × 7。

• 因數：1, 2, 4, 7, 14, 28
• 數量：6
• 因數總和：\sigma(28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56

真因數不包含 n 本身：1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28。因為這正好等於 n，所以 28 是一個完全數。同樣地，\sigma(28) - 28 = 56 - 28 = 28。

例 3 — 一個較大的合數：n = 100

要找出每一個因數，我們只需要測試到 √(100) = 10 為止的整數；每個較小的因數 d 都會對應一個互補的因數 100 / d：

• 1 × 100
• 2 × 50
• 4 × 25
• 5 × 20
• 10 × 10（一個重複的因數，因為 10 = √(100)，所以只列出一次）

收集並排序這些互補因數：

• 因數：1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100
• 數量：9
• 因數總和：\sigma(100) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 25 + 50 + 100 = 217
• 分類：超過 2 個因數，因此 100 是合數。

整數 1–20 以及兩個值得注意的較大數字的因數、因數數量、因數總和 \sigma(n)，以及質數／合數狀態。請注意，1 是一個特例：它是一個單位元，被認為既不是質數也不是合數。

本工具的輸出對應數論中的幾個標準定義。

質數 vs. 合數

一個正整數的分類直接由它的因數數量決定：

• 質數 — 恰好有 2 個因數（1 和該數字本身），例如 2、3、5、7、11。
• 合數 — 超過 2 個因數，例如 4、6、8、9、100。
• 皆非 — 數字 1 只有單一個因數，是一個單位元，因此依慣例它既不是質數也不是合數。

\sigma(n) 代表什麼

因數總和 \sigma(n) = \sum_{d \mid n} d 將 n 的每一個正因數（包括 1 和 n 本身）相加。n 的真因數是它除了 n 以外的所有因數，因此它們的總和為 \sigma(n) - n，有時稱為真因數和（aliquot sum）。

依真因數之和進行分類

將真因數和 \sigma(n) - n 與 n 本身比較，可得到一種經典的三分類法：

• 虧數（不足數） — \sigma(n) - n < n（等價於 \sigma(n) < 2n）；真因數之和小於該數字。每個質數都是虧數，8 和 10 之類的數字也是。
• 完全數 — \sigma(n) - n = n（等價於 \sigma(n) = 2n）；真因數之和恰好等於該數字。最小的例子是 6 和 28。
• 盈數（過剩數） — \sigma(n) - n > n（等價於 \sigma(n) > 2n）；真因數之和大於該數字。最小的例子是 12，其真因數 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 超過 12。

這些定義是普遍的數學慣例，並不與任何特定國家或標準相關聯。