什麼是都卜勒效應？
都卜勒效應（Doppler effect）是指當聲源、觀測者，或兩者相對於傳播介質運動時，所觀測到的波頻率會發生變化。這也正是為什麼救護車鳴笛在駛近時聽起來音調較高、遠離時音調又變低的原因。本計算機處理的是經典的「聲學都卜勒效應」，也就是聲音在空氣等介質中傳播時的情形。
如何使用本計算機
請輸入聲源頻率 f（單位赫茲 Hz）、聲音在介質中的傳播速度 c（乾燥空氣於 20 °C 時約為 343 m/s），以及觀測者與聲源的速度。當觀測者「朝聲源移動」時，觀測者速度（v_o）填正值；當聲源「朝觀測者移動」時，聲源速度（v_s）填正值；若為遠離方向，則填負值。計算機會回傳觀測頻率 f' 與頻率變化量 Δ f。
公式說明
聲學都卜勒效應的通式為
f' = f · ((c + v_o) ÷ (c - v_s))
觀測者朝聲源移動會使分子變大，聲源朝觀測者移動則會使分母變小——兩者都會讓觀測頻率提高。若把運動方向反過來（符號取反），觀測頻率便會低於原本的聲源頻率。
實例演算
一輛汽車的喇叭發出 f = 440\ Hz 的聲音，以 v_s = 30\ m/s 朝靜止不動的聽者駛來，空氣中音速 c = 343\ m/s，而觀測者靜止（v_o = 0）。則
f' = 440 × ((343 + 0) ÷ (343 - 30)) = 440 × ((343) ÷ (313)) ≈ 482.17\ Hz
喇叭駛近時，音調約上升了 42 Hz。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
這個公式適用於光嗎？
不適用——光必須使用相對論性都卜勒公式，因為光的傳播不需要介質。本計算機僅適用於聲波。
音速該填多少？
空氣於 20 °C 時約為 343 m/s；實際數值會隨溫度、濕度與介質而變化（在水中約為 1480 m/s）。
若聲源達到音速會怎樣？
當 \(v_s = c\) 時分母為零，公式失效——此時進入音爆（衝擊波）的範圍，計算機會回傳 0。