📐 Doppler Shift 計算機

都卜勒效應（Doppler effect）指的是當波源、觀測者，或兩者相對於傳播介質移動時，所聽（測）到的波頻率會產生變化。救護車駛近時鳴笛聲聽起來特別尖銳，一擦身而過音調立刻降下來，正是這個現象。本計算器採用適用於機械波的古典（非相對論）都卜勒公式，例如聲音在空氣、水或鋼材中的傳播，並回傳觀測頻率、頻率變化量，以及發射與觀測兩個波長。

設 f_s 為波源頻率、v 為波在介質中的傳播速度、v_o 為觀測者朝向波源移動的速度、v_s 為波源朝向觀測者移動的速度：

速度帶有正負號：彼此靠近（距離縮短）時填正值，彼此遠離（距離拉開）時填負值。觀測波長由 \lambda_o = v / f_o 求得，發射波長則為 \lambda_s = v / f_s。

先選擇介質預設值（或自行輸入波速），接著填入波源實際發出的頻率，最後輸入兩者沿著「波源—觀測者連線」方向的速度。只有沿此連線方向的速度分量會造成影響，因此車輛行經最近點的那一瞬間，有效速度為零，也就不會有任何頻率偏移。

火車鳴笛頻率為 1000 Hz，以 30 m/s 朝著靜止的聽者駛來，空氣中聲速為 343 m/s：

頻率上升約 95.85 Hz，相當於提高約 9.58%，波長則由 0.343 公尺壓縮到 0.313 公尺。

下面所有行使用20°C乾空氣（v = 343 m/s）和源頻率f_s = 1000 Hz，採用本計算器的符號約定：v_s和v_o在物體朝彼此移動時為正，遠離時為負。

為什麼第2行和第4行不相同

兩者都描述相同的30 m/s相對接近速度，但給出不同的答案：1095.85 Hz對1087.46 Hz。這是經典的源-觀察者非對稱性。移動源改變分母，物理上壓縮它在空氣中留下的波峰：

移動觀察者改變分子，掃過仍然均勻間隔的波峰：

介質破壞了對稱性——只有在相對論（光）情況下，兩種情況才給出相同的結果。在日常速度下，差距很小（這裡8.4 Hz，低於1%），這就是為什麼近似 Δ f / f_s ≈ v_{rel}/v 對低速交通足夠好，但對飛機不夠好。

注意另外兩個模式

1. 接近和遠離不是鏡像。第2行增加95.85 Hz，而第3行只減少80.43 Hz——某個東西朝你而來時的上升在幅度上始終大於它離開時的下降。對於移動觀察者（第4和第5行），轉變在±87.46 Hz處完全對稱，因為分子在 v_o 中是線性的。
2. 馬赫1附近的爆炸式增長。在 v_s = 300 m/s時，分母只有343 - 300 = 43 m/s，因此頻率乘以將近8。當 v_s \to v 時，分母趨於零，f_o \to \infty：波峰在單一表面堆積，即衝擊波陣面（音爆）。對於 v_s > v，公式返回負頻率，根本不再有效——超音速源需要改用馬赫錐體處理。