什麼是向量內積？
內積（又稱純量積或點積）會把兩個向量結合成一個單一數值。對於向量 a = (a₁, a₂, a₃) 與 b = (b₁, b₂, b₃) 而言，內積就是把對應分量相乘後再相加：
a·b=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3
計算結果是一個純量，而非向量。它是線性代數、物理學、電腦繪圖以及機器學習中最基礎、也最常用的運算之一。
如何使用本計算器
在第一列輸入向量 a 的各個分量，在第二列輸入向量 b 的各個分量。若處理的是二維向量，只要把第三個分量（a_3 與 b_3）保持為 0 即可。按下計算後，您就能得到兩向量的內積、各向量的長度（大小），以及它們之間以度為單位的夾角。
公式說明
把 a 的每個分量與 b 對應的分量相乘，再將這些乘積全部加總，就是內積。兩向量之間的夾角 θ 則來自關係式 a·b=\lVerta\rVert \lVertb\rVert\cosθ，其中 \lVerta\rVert=√(a_1^2+a_2^2+a_3^2)。將公式移項後即可得到
θ=\arccos≤ft(\dfrac{a·b}{\lVerta\rVert \lVertb\rVert}\right)
實際範例
假設 a = (1, 2, 3)、b = (4, 5, 6)。內積為
(1× 4) + (2× 5) + (3× 6) = 4 + 10 + 18 = 32
兩向量的長度分別為 \lVerta\rVert=√(14)≈ 3.742、\lVertb\rVert=√(77)≈ 8.775。夾角則為 \arccos≤ft(((32) ÷ (3.742 × 8.775))\right)≈ 12.93^\circ
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
內積等於 0 代表什麼？
代表兩個向量互相垂直（正交），也就是它們之間的夾角為 90°。
內積可能是負值嗎？
可以。內積為負，表示兩向量之間的夾角大於 90°（兩者大致朝相反方向）。
內積和外積有什麼不同？
內積得到的是純量，外積得到的則是一個同時垂直於兩個輸入向量的向量，而且外積只存在於三維空間中。