這個計算器的用途
這個工具會利用雙指數（DE）求積法（又稱 Tanh-Sinh 法），計算單變數函數 f(x) 在有限區間 [a, b] 上的定積分。DE 求積法是處理有限區間時最可靠的通用方法之一，尤其擅長應付在端點處發散的被積函數，例如 1/√(x) 或 \log(x)——這類情況往往讓一般的高斯法或辛普森法束手無策。
使用方式
請在「被積函數 f(x)」欄位中以一般數學語法輸入函數，可使用 + - * / ^、括號，以及下列函數 sqrt, exp, log, ln, sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, abs，常數則有 pi 與 e。接著輸入下限 a 與上限 b，選擇要計算到幾位有效數字，然後送出。奇異點只允許出現在端點 a 與 b；除此之外，函數在開區間 (a, b) 上必須為解析函數，且不應為週期函數。
公式說明
首先透過 x(u) = (((b+a)+(b-a)u) ÷ (2)) 將區間映射到 [-1, 1]。接著以 DE 變換 u = \tanh≤ft(((π) ÷ (2))\sinh t\right) 把整條直線拉伸開來：當 t 增大時，u 會以超指數的速度逼近端點，同時權重 g'(t) 也以同樣快的速度收縮趨近於零。由於節點永遠不會剛好落在 a 或 b 上，端點的奇異點實際上從未被代入計算——也就等於被「馴服」了。變換後的積分接著以步長為 h 的簡單梯形法求和，並不斷將 h 減半，直到結果不再變動為止。
實例演算
以 f(x) = 1/√(x) 在 [0, 1] 為例，其精確值為 [2√(x)] 從 0 到 1，即等於 2。即使只用粗略的 7 點 DE 網格（h = 0.5），結果也已約為 1.94；持續細化 h 後，估計值便趨近 2.000000000000000。再以無奇異點的 f(x) = x^2 在 [0, 1] 驗證，可得 1/3 = 0.3333333333333。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。