什麼是垂心？
三角形的垂心，是三條高相交於同一點的位置。所謂「高」，是指從某個頂點向對邊（必要時延長對邊）所畫出的垂線。由於任兩條高就足以確定這個交點，本計算器只需取其中兩條高相交，即可求出垂心。垂心可能落在三角形內部（銳角三角形）、剛好位於某個頂點上（直角三角形），也可能落在三角形外部（鈍角三角形）。
計算器使用方式
分別輸入三個頂點 A、B、C 的 x 與 y 座標，按下計算，就能得到垂心座標 H =（x, y）。座標可以是負數或小數。若三點共線，便無法構成三角形，此時垂心會顯示為「無定義」。
公式解析
從 A 點所作的高，與 BC 邊垂直，而 BC 邊的方向向量為(x_C - x_B,\ y_C - y_B)。通過 A 點且垂直於某邊的直線，可用內積方程式表示為
(x_C - x_B)(x - x_A) + (y_C - y_B)(y - y_A) = 0.
同理，寫出從 B 點所作的高（垂直於 AC 邊）的方程式，便構成一組 2×2 的線性方程式： \begin{cases} (C_x - B_x) x + (C_y - B_y) y = (C_x - B_x)A_x + (C_y - B_y)A_y \\ (C_x - A_x) x + (C_y - A_y) y = (C_x - A_x)B_x + (C_y - A_y)B_y \end{cases}
其中 ≤ft{ \begin{aligned} A &= ≤ft(A_x,\ A_y\right) \\ B &= ≤ft(B_x,\ B_y\right) \\ C &= ≤ft(C_x,\ C_y\right) \end{aligned} \right.
再以克拉瑪公式（Cramer's rule）求解。採用內積形式而非斜率，可避免某邊呈鉛直線時發生除以零的情況，因此任何有效的三角形都能順利計算。
實例演算
設 A(0, 0)、B(4, 0)、C(1, 3)。BC 邊方向為(-3,\ 3)，因此從 A 點所作的高為 -3x + 3y = 0，即 y = x。AC 邊方向為(1,\ 3)，因此從 B 點所作的高為
x + 3y = (1)(4) + (3)(0) = 4.
代入 y = x 可得 x + 3x = 4，解得 x = 1、y = 1。故垂心為(1,\ 1)。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
垂心會落在三角形外面嗎？
會——對於鈍角三角形，垂心會落在三角形之外。
直角三角形的垂心在哪裡？
剛好就在直角所在的那個頂點上。
如果三點排成一直線會怎樣？
此時無法構成三角形，三條高互相平行，垂心因而無定義。