🔢 2X2 Matrix Inverse 計算機

方陣 A 的反矩陣（記為 A^{-1}）是滿足 A · A^{-1} = I 的矩陣，其中 I 為單位矩陣。對於 2×2 矩陣而言，只要套用一條簡潔的公式就能求出反矩陣。本計算機會立即算出行列式以及反矩陣的每一個元素，並在反矩陣不存在時主動提醒你。

請輸入矩陣的四個元素：第一列填入 a 與 b，第二列填入 c 與 d。計算機會先算出行列式 ad - bc。若行列式不為零，便會回傳完整的反矩陣；若為零，則會標示該矩陣為奇異矩陣（不存在反矩陣）。

對於矩陣 A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}，行列式為

以 A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} 為例，行列式為

對於 2×2 矩陣 A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}，其逆矩陣為 A^{-1} = ((1) ÷ (ad-bc))\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}，僅在行列式 ad-bc ≠ 0 時有效。

範例 1 — 包含負數項的矩陣

設 A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}，因此 a=2,\ b=-3,\ c=4,\ d=-1。

1. 行列式：ad - bc = (2)(-1) - (-3)(4) = -2 + 12 =10。
2. 交換 a 和 d，將 b 和 c 取反：\begin{bmatrix} -1 & 3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}。
3. 除以行列式：A^{-1} = ((1) ÷ (10))\begin{bmatrix} -1 & 3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.1 & 0.3 \\ -0.4 & 0.2 \end{bmatrix}。

驗證：A A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}，即單位矩陣。

範例 2 — 奇異矩陣（無逆矩陣）

設 A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}，因此 a=2,\ b=4,\ c=1,\ d=2。

1. 行列式：ad - bc = (2)(2) - (4)(1) = 4 - 4 =0。
2. 因為行列式為 0，係數 ((1) ÷ (ad-bc)) 未定義（除以零）。
3. 因此 A 是奇異矩陣且沒有逆矩陣。此處第二列 (1,2) 恰好是第一列 (2,4) 的一半，因此這些列線性相關。

範例 3 — 乾淨的分數項

設 A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}，因此 a=1,\ b=2,\ c=3,\ d=4。

1. 行列式：ad - bc = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2。
2. 建立伴隨矩陣：\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}。
3. 除以 -2：A^{-1} = ((1) ÷ (-2))\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{bmatrix}。

您可以使用乘積來驗證 A 與 A^{-1} 相乘；結果應為單位矩陣。

行列式

從矩陣計算出的單一純量值。對於 2×2 矩陣，它等於 ad - bc。它測量矩陣如何縮放面積，並表明是否存在逆矩陣：僅當行列式非零時，逆矩陣才存在。

奇異矩陣

行列式為 0 的方陣。奇異矩陣沒有逆矩陣，因為公式需要除以行列式。其列（和行）線性相關。

可逆矩陣 / 非奇異矩陣

行列式非零的方陣。它具有唯一的逆矩陣 A^{-1}，使得 A A^{-1} = A^{-1}A = I。「可逆」和「非奇異」意思相同。

單位矩陣

主對角線上為 1、其他地方為 0 的方陣，在 2×2 情況下記為 I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}。任何矩陣與 I 相乘保持不變，且 A A^{-1}=I。

逆矩陣 (A^{-1})

「撤銷」A 的矩陣：滿足 A A^{-1} = I 的唯一矩陣。對於 2×2 矩陣，通過交換 a 和 d、將 b 和 c 取反，以及將每個項除以行列式來求得。

項 a, b, c, d

矩陣 \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} 的四個數：a 是左上角（第 1 列第 1 列），b 是右上角（第 1 列第 2 列），c 是左下角（第 2 列第 1 列），d 是右下角（第 2 列第 2 列）。a 和 d 組成主對角線。