🔢 2x2 matrix multiplication 計算機

矩陣乘法就是把兩個矩陣結合成一個乘積矩陣。對於兩個 2×2 矩陣 A 與 B 來說，乘積 C = A · B 同樣是一個 2×2 矩陣。C 的每一個元素，都是取 A 的某一列與 B 的某一行，將對應位置的數字相乘後再加總而得——也就是所謂「列乘行」的內積運算。只要輸入 8 個數字，這個計算機就能幫你算出 C 的全部四個元素。

先依序填入矩陣 A 的四個元素（A₁₁、A₁₂、A₂₁、A₂₂），再以相同的逐列順序填入矩陣 B 的四個元素。按下計算後，工具會以 2×2 的格狀排版顯示乘積矩陣 C，同時列出每一個元素的數值。數字可以是正數、負數或小數。

對於 2×2 矩陣，計算規則如下：

一般而言，元素 c_{ij} 等於 a_{ik}· b_{kj} 對所有 k 的總和。要特別注意：矩陣乘法不具有交換律，A · B 通常不等於 B · A。

設 A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}、B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}，則：

因此 C = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}。

每個乘積 C = A · B 是透過將 A 的一列與 B 的一行進行點乘得到的。項目 C_{ij} 使用 A 的第 i 列和 B 的第 j 行：C_{ij} = A_{i1}B_{1j} + A_{i2}B_{2j}。

例 1 — 負數和小數項目

設 A = \begin{bmatrix} -2 & 1.5 \\ 0.5 & -3 \end{bmatrix} 且 B = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 0.5 \end{bmatrix}。

• C_{11} = (-2)(4) + (1.5)(2) = -8 + 3 = -5
• C_{12} = (-2)(-1) + (1.5)(0.5) = 2 + 0.75 = 2.75
• C_{21} = (0.5)(4) + (-3)(2) = 2 - 6 = -4
• C_{22} = (0.5)(-1) + (-3)(0.5) = -0.5 - 1.5 = -2

因此 C = \begin{bmatrix} -5 & 2.75 \\ -4 & -2 \end{bmatrix}。左上角項目是 -5。

例 2 — 乘以單位矩陣

設 A = \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} 且 I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}。任何矩陣乘以單位矩陣都會返回原始矩陣。

• C_{11} = (7)(1) + (-2)(0) = 7 + 0 = 7
• C_{12} = (7)(0) + (-2)(1) = 0 - 2 = -2
• C_{21} = (3)(1) + (5)(0) = 3 + 0 = 3
• C_{22} = (3)(0) + (5)(1) = 0 + 5 = 5

因此 A · I = \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} = A，確認 I 作為乘法單位元的作用。

例 3 — 證明 A · B ≠ B · A

設 A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} 且 B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}。

首先，A · B：

• C_{11} = (1)(0) + (2)(5) = 0 + 10 = 10
• C_{12} = (1)(1) + (2)(6) = 1 + 12 = 13
• C_{21} = (3)(0) + (4)(5) = 0 + 20 = 20
• C_{22} = (3)(1) + (4)(6) = 3 + 24 = 27

A · B = \begin{bmatrix} 10 & 13 \\ 20 & 27 \end{bmatrix}；左上角項目是 10。

現在反向順序，B · A：

• C_{11} = (0)(1) + (1)(3) = 0 + 3 = 3
• C_{12} = (0)(2) + (1)(4) = 0 + 4 = 4
• C_{21} = (5)(1) + (6)(3) = 5 + 18 = 23
• C_{22} = (5)(2) + (6)(4) = 10 + 24 = 34

B · A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 23 & 34 \end{bmatrix}；左上角項目是 3。

由於 \begin{bmatrix} 10 & 13 \\ 20 & 27 \end{bmatrix} ≠ \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 23 & 34 \end{bmatrix}，矩陣乘法不滿足交換律：因子的順序很重要。

矩陣

以括號形式書寫的按列和列排列的數字矩形陣列。其大小以（行）×（列）表示。

2×2 矩陣

具有兩列和兩行的正方形矩陣，恰好包含四個項目：\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}。

項目 / 元素 (a_{ij})

矩陣內的單一數字。下標符號 a_{ij} 確認其位置：i 是列號，j 是行號。例如，a_{21} 是第 2 列第 1 行的項目。

列

項目的水平線。在 2×2 矩陣中，第 1 列是 [a_{11}\ \ a_{12}]，第 2 列是 [a_{21}\ \ a_{22}]。

行

項目的垂直線。在 2×2 矩陣中，第 1 行是 \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{bmatrix}，第 2 行是 \begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \end{bmatrix}。

點乘

列和行的相應項目的成對乘積之和。乘積矩陣的每個項目是 A 的一列與 B 的一行的點乘，例如 C_{11} = A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21}。

乘積矩陣 C

兩個矩陣相乘的結果，C = A · B。對於 2×2 矩陣，C 也是 2×2，每個項目 C_{ij} 由 A 的第 i 列和 B 的第 j 行構成。

單位矩陣 (I)

主對角線上為 1，其他地方為 0 的正方形矩陣。2×2 單位矩陣是 I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}。它滿足 A · I = I · A = A，在乘法中的作用類似於數字 1。

交換律

運算元的順序不改變結果的性質（例如 2 × 3 = 3 × 2）。矩陣乘法一般不滿足交換律：通常 A · B ≠ B · A，所以左因子和右因子必須按指定順序保持。