🧮 3D Line Equation From Two Points 計算機

這個工具會求出通過兩個已知點 A=(x_1,y_1,z_1) 與 B=(x_2,y_2,z_2) 的三維空間直線方程式。三維空間中的直線無法用單一的 y=mx+b 公式表示，因此我們會以方向向量搭配參數式與對稱式來描述它。計算器同時也會回傳兩點之間的直線距離。

方向向量由 A 指向 B：

以 A 作為定點，這條直線可用參數 t 寫成參數式：

其中 a、b、c 為方向分量。當三者皆不為零時，對稱式為 ((x-x_1) ÷ (a)) = ((y-y_1) ÷ (b)) = ((z-z_1) ÷ (c))。

輸入 A 點的三個座標與 B 點的三個座標，即可讀出參數方程式與方向向量。參數 t 可取任意實數：t=0 對應 A 點，t=1 對應 B 點。

設 A=(1,2,3) 與 B=(4,6,8)。方向向量為

因此直線為 x = 1 + 3t, y = 2 + 4t, z = 3 + 5t。兩點之間的距離為

給定兩個相異點 A=(x_1,y_1,z_1) 和 B=(x_2,y_2,z_2)，通過它們的直線由一個方向向量和一個錨點構成。按照以下五個步驟進行。

1. 計算方向向量的分量。 從 B 的坐標中減去 A 的坐標：
   
   a = x_2-x_1, b = y_2-y_1, c = z_2-z_1
   
   所以方向向量是 \vec{d}=\langle a,b,c\rangle。此向量指向從 A 到 B 的方向。
2. 選擇一個錨點。 直線上的任何點都可以；最簡單的選擇是 A=(x_1,y_1,z_1)，得到 (x_0,y_0,z_0)=(x_1,y_1,z_1)。
3. 寫出參數方程。 將方向向量乘以 t 後加到錨點上：
   
   x = x_1 + a t,\qquad y = y_1 + b t,\qquad z = z_1 + c t
   
   當 t=0 時你位於 A；當 t=1 時你位於 B。
4. 形成對稱方程。 將每個參數方程對 t 求解並令其相等：
   
   ((x-x_1) ÷ (a)) = ((y-y_1) ÷ (b)) = ((z-z_1) ÷ (c))
   
   零分量處理： 如果某個分母為 0（比如 a=0），則不能除以它。相反，要去掉該比值並直接以約束形式給出，如 x = x_1，然後僅用非零分量寫出對稱形式。
5. 計算兩點之間的距離。 距離 |AB| 等於方向向量的模：
   
   |AB| = √(a^2 + b^2 + c^2)

例題 1——零方向分量

令 A=(2,1,5) 和 B=(2,4,5)。

1. 方向向量：a=2-2=0，b=4-1=3，c=5-5=0，所以 \vec{d}=\langle 0,3,0\rangle。
2. 參數形式：x = 2,\ y = 1 + 3t,\ z = 5。
3. 對稱形式：因為 a=0 和 c=0，x 和 z 的比值未定義並被忽略。直線由約束條件描述
   
   x = 2, z = 5 (y 自由)。
   
   這是一條平行於 y 軸的直線。
4. 距離：|AB| = √(0^2 + 3^2 + 0^2) = √(9) = 3。

例題 2——負坐標

令 A=(-3,2,-1) 和 B=(1,-4,5)。

1. 方向向量：a=1-(-3)=4，b=-4-2=-6，c=5-(-1)=6，所以 \vec{d}=\langle 4,-6,6\rangle。
2. 參數形式：x = -3 + 4t,\ y = 2 - 6t,\ z = -1 + 6t。
3. 對稱形式：
   
   ((x+3) ÷ (4)) = ((y-2) ÷ (-6)) = ((z+1) ÷ (6))。
4. 距離：|AB| = √(4^2 + (-6)^2 + 6^2) = √(16+36+36) = √(88) ≈ 9.38。

例題 3——乾淨的整數直線

令 A=(1,0,2) 和 B=(4,3,2)。

1. 方向向量：a=3，b=3，c=0，所以 \vec{d}=\langle 3,3,0\rangle。
2. 參數形式：x = 1 + 3t,\ y = 3t,\ z = 2。
3. 對稱形式（z 的比值因 c=0 而被忽略）：
   
   ((x-1) ÷ (3)) = ((y) ÷ (3)), z = 2。
4. 距離：|AB| = √(3^2 + 3^2 + 0^2) = √(18) ≈ 4.24。

方向向量

從坐標差 a=x_2-x_1、b=y_2-y_1、c=z_2-z_1 得到的向量 \vec{d}=\langle a,b,c\rangle。它給出直線的方向；任何非零標量倍數都描述同一條直線。

參數方程

表示 \vec{r}(t)=\langle x_0,y_0,z_0\rangle + t\langle a,b,c\rangle，即 x=x_0+at,\ y=y_0+bt,\ z=z_0+ct。t 的每個值都對應直線上的一個點。

對稱形式

方程 \dfrac{x-x_1}{a}=\dfrac{y-y_1}{b}=\dfrac{z-z_1}{c}，通過對每個參數方程對 t 求解並令其相等得到。它不包含顯式參數。

參數 t

自由標量，使點沿著直線滑動。t=0 給出錨點 A；t=1 給出 B；負的 t 將直線向相反方向延伸。

錨點（基點）

直線上任何已知的點，用作起始位置 (x_0,y_0,z_0)。選擇 A=(x_1,y_1,z_1) 是慣例，但 B 或直線上任何其他點同樣有效。

模 / 距離

長度 |AB|=√(a^2+b^2+c^2)，等於從兩個給定點構建的方向向量的模。它測量 A 和 B 之間的直線距離。

零分量

一個等於 0 的方向分量意味著直線沿著該軸不變化：相應的坐標保持常數。在幾何上，直線平行於其他兩個軸所在的平面（或如果兩個分量為零則平行於一個軸）。在對稱形式中，該比值未定義並被替換為常數約束，例如 x=x_1。