🔢 3X3 Matrix Determinant 計算機

這個工具會根據你輸入的九個實數，計算 3×3 矩陣 A 的行列式，同時回報行列式的倒數（1/det A）。行列式是一個單一數值，可以告訴你矩陣是否可逆：行列式不為零代表矩陣存在反矩陣；行列式為零則表示這是一個奇異矩陣（不可逆）。

請在標示好的格子中填入九個元素，其中 a-列-行 代表該列與該行交會位置的元素。每一格都可以輸入任意實數（正數、負數或小數皆可）。按下計算後，主要結果會顯示 det A，下方則顯示 1/det A。若行列式為零，倒數會標記為「未定義」。

沿著第一列進行餘因子（拉普拉斯）展開：

這與薩魯斯法則（rule of Sarrus）等價：把三條由左上往右下的對角線乘積相加，再減去三條由右上往左下的對角線乘積。最終結果代表由 A 所表示的線性變換對體積的「帶正負號的縮放倍率」；若數值為負，表示該變換會翻轉空間的方向（定向）。

以 A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,10]] 為例：

每個範例都沿著第一列使用餘因子展開：

範例 1 — 奇異矩陣 (det = 0)

這裡第三列正好是前兩列的和，所以矩陣是奇異的。

沿著第一列展開：

1. 1 (5· 9 - 6· 7) = 1 (45-42) = 3
2. - 2 (4· 9 - 6· 5) = -2 (36-30) = -12
3. + 3 (4· 7 - 5· 5) = 3 (28-25) = 9

相加：3 - 12 + 9 = 0。因為 \det A = 0，矩陣是奇異的，而倒數 1/\det A 是無定義的（不存在反矩陣）。

範例 2 — 負數和小數項

沿著第一列展開：

1. 2 (4·(-2) - 1· 2) = 2 (-8-2) = 2 (-10) = -20
2. - (-1) ((-3)·(-2) - 1· 0) = +1 (6-0) = 6
3. + 0.5 ((-3)· 2 - 4· 0) = 0.5 (-6-0) = -3

相加：-20 + 6 - 3 = -17。倒數是 1/\det A = -1/17 ≈ -0.0588。

範例 3 — 上三角矩陣 (det = 對角線乘積)

沿著第一列展開（注意左下方的零使非對角線餘因子消失）：

1. 3 (4· 2 - 7· 0) = 3 (8) = 24
2. - 5 (0· 2 - 7· 0) = -5 (0) = 0
3. + (-2) (0· 0 - 4· 0) = -2 (0) = 0

相加：24 + 0 + 0 = 24，這等於對角線項的乘積 3· 4· 2 = 24。對於任何三角矩陣，行列式就是對角線項的乘積。

行列式（\det A 或 |A|）

一個從方矩陣計算出的單一純量，編碼矩陣是否可逆以及它如何縮放體積。對於 3×3 矩陣，它通過餘因子展開來求得。

未成年子式（M_{ij}）

刪除第 i 列和第 j 列後留下的較小矩陣的行列式。對於 3×3 矩陣，每個未成年子式都是一個 2×2 行列式。

餘因子（C_{ij}）

一個帶符號的未成年子式：C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}。棋盤符號模式是 \begin{smallmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{smallmatrix}。

拉普拉斯 / 餘因子展開

一種方法，通過選定的行或列中的每一項乘以其餘因子的和來計算行列式：\det A = \sum_j a_{ij}C_{ij}。選擇包含零的行或列可以減少工作量。

薩呂法則

僅適用於 3×3 矩陣的快速方法：加上三個從左到右的對角線乘積，減去三個從右到左的對角線乘積。它給出與餘因子展開相同的結果。

奇異矩陣

一個滿足 \det A = 0 的矩陣；它沒有反矩陣，因為行（和列）線性相關。

可逆（非奇異）矩陣

一個滿足 \det A ≠ 0 的矩陣；它有唯一的反矩陣 A^{-1}。

伴隨矩陣（伴隨）

餘因子矩陣的轉置。它出現在反矩陣公式 A^{-1} = ((1) ÷ (\det A)) adj(A) 中。

線性相關

當一列（或一行）可以寫成其他列（或行）的組合時。線性相關強制 \det A = 0，這意味著矩陣將 3 維空間映射到一個較低維度的集合。